Механічний і геометричний зміст похідної

Як відомо, похідною функції в точці  називається границя відношення (якщо вона існує) приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:

Зазначимо, що рівність (1) можна записати і в дещо іншому вигляді:

тобто похідна функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої в точці з додатним напрямком осі . Це твердження і виражає геометричний зміст похідної.

Ілюстрація до визначення геометричного змісту похідної

Справді, оскільки є неперервною функцією кута , то при . Отже, кутовий коефіцієнт дотичної до кривої  в точці можна обчислити за формулою:

Читати повністю

Похідна функції. Як знайти похідну функції

Нехай функція ) визначена в деякому околі точки і нехай  — точка цього околу ().

Якщо відношення має границю при , то ця границя називається похідною функції в точці  і позначається . Таким чином,

тобто похідною функції в точці  називається границя відношення (якщо вона існує) приросту функції  в точці  до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Якщо функція  в точці  має скінченну похідну, то вона називається диференційованою в цій точці.

Ілюстрація до визначення похідної функції в точці

Якщо функція диференційована в кожній точці інтервалу , то , де і  — приріст аргументу та приріст функції відповідно.

Читати повністю