Програмна реалізація методу окантування для знаходження обернеої матриці
Програма реалізована в середовищі програмування Delphi 7 і призначена для відшукання оберненої матриці використовуючи для цього метод окантування. Даний метод являється окремим випадком методу розбиття на клітини і полягає в тому, що на кожному кроці розглдється матриця 
, отримана з допомогою окантування попередньої матриці 
відповідним рядком і стовпцем матриці 
і для якої, на кожному кроці, здійснюється процес побудови оберненої матриці 
, який, в свою чергу, використовує матрицю 
(на 
-му кроці отримуємо 
). Більш детально розглядати даний алгоритм не будемо, його можна знайти за посиланням Знаходження оберненої матриці використовуючи метод окантування, а перейдемо до розгляду основних елементів головного вікна delphi-проекту, який реалізує даний метод.
Головне вікно проекту ділиться на дві частини:
- Панель інструментів — міститься в верхній частині форми і складається з одного поля "Розмірність матриці" (компонент типу TSpinEdit) та двох кнопок "Знайти обернену матрицю" і "Очистити матрицю".
- Робоча область — містить таблицю типу TStringGrid, кількість рядків та стовпців якої визначається значенням вищезгадуваного поля "Розмірність матриці", і в комірки якої заносяться відповідні елементи матриці для якої необхідно визначити обернену.
Метод окантування для знаходження оберненої матриці
У цьому параграфі розглянемо обчислювальну схему для знаходження оберненої матриці основану на ідеї окантування. Для цього, задану матрицю 
будемо розглядати як результат окантування матриці 
-го порядку, для якої вважається, що обернена матриця являється відомою. Тобто:
Тут 
позначає згадуану вище матрицю-го порядку, а 
.
Тоді, матрицю 
також шукатимемо у вигляді окантованої матриці:
де 
— матриця порядку 
, 
— вектор-рядок, 
— вектор-стовпець і 
- число, яке нам потрібно визначити. За правилом множення окантованих матриць маємо:
Знаходження оберненої матриці використовуючи метод розбиття на клітини
Іноді буває доцільно, при знаходженні оберненої матриці, попередньо розбити її на клітини. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього, на першому кроці, розіб'ємо матрицю 
порядку 
на чотири клітини, використовуючи для цього наступну схему:
де в дужках вказані порядки відповідних клітин, причому 
. Після цього, обернену матрицю до заданої будемо шукати у вигляді матриці, яка також складається з чотирьох клітин. Тобто:
Скориставшись означенням оберненої матриці, а саме 
, перемножимо матриці (1) та (2). В результаті отримаємо чотири матричних рівняння:
Обернена матриця методом алгебраїчних доповнень в середовищі Delphi
Програма написана в середовищі програмування Delphi і призначена для знаходження оберненої матриці з допомогою методу алгебраїчних доповнень. Алгоритм побудови оберненої матриці в такий спосіб включає наступні етапи: формування і розрахунок визначника вхідної матриці; побудова матриці, елементами якої є алгебраїчні доповнення відповідних елементів вхідної матриці; транспонування отриманої матриці алгебраїчних доповнень; формування оберненої матриці шляхом ділення транпонованої матриці алгебраїчних доповнень на визначник вхідної матриці.
Інтерфейс delphi-проекту, який з допомогою методу алгебраїчних доповненть знаходить обернену матрицю до заданої
Знаходження оберненої матриці з допомогою алгебраїчних доповненень
Нехай 
— квадратна матриця 
-го порядку. Квадратна матриця 
, також -го порядку, називається оберненою до , якщо 
. Нагадаємо, що для будь-якої квадратної матриці існує обернена, при чому єдина, в тому випадку, коли вона являється невиродженою, тобто визначник даної матриці відмінний від нуля.
Для знаходження оберненої матриці будемо використовувати наступний алгоритм:
- З допомогою методу Гаусса чи методу розкладу визначника, знаходимо детермінант матриці
. - Знаходимо транспоновану матрицю
(отримують з вихідної матриці шляхом заміни її рядків на стовпці). - Для кожного елемента транспонованої матриці обчислюємо алгебраїчні доповнення (алгебраїчне доповнення елемента — це мінор, взятий зі знаком "+" якщо сума номера рядка і стовпця елемента парне число, і зі знаком "-" — у протилежному випадку, де мінор елемента матриці — це визначник (n-1)-го порядку, який утворюється з початкового визначника, шляхом закреслення рядка та стовпця, в яких міститься даний елемент).
- На наступному кроці, знаходимо обернену матрицю використовуючи наступну формулу:
Загрузка ...