Знаходження розв'язку задачі Коші засобами Delphi використовуючи метод Мілна
Розглянемо delphi-проект, який використовуючи метод Мілна четвертого порядку точності (відноситься до групи методів прогнозу і коррекції) знаходить чисельний розв'язок задачі Коші. Перш ніж приступити до розгляду головної форми delphi-програми, нагадаємо, що основна ідея методів прогнозу і коррекції полягає в тому, що рішення в наступній точці знаходиться у два етапи. На першому етапі знаходимо прогнозоване значення функції. На другому — корекція значення отриманого на попередньому етапі. Більш детальну інформацію про метод Мілна можна знайти за посиланням Знаходження розв'язку задачі Коші використовуючи метод Мілна.
Отже, після запуску програми, яка реалізує Метод Мілна, на екрані появиться форма наступного виду:
Головна форма delphi-проекту, який використовуючи метод Мілна знаходить розв'язок задачі Коші
Знаходження розв'язку задачі Коші використовуючи метод Мілна
Одним з найбільш простих і практично зручних методів чисельного рішення диференціальних рівнянь є метод Мілна. Метод Мілна відноситься до багатокрокових методів і представляє один з методів прогнозу і корекції, тобто, рішення в наступній точці знаходиться у два етапи. На першому етапі здійснюється за спеціальною формулою прогноз значення функції, а потім на другому етапі — корекція отриманого значення. Якщо отримане значення 
після корекції істотно відрізняється від спрогнозованого, то проводять ще один етап корекції. Якщо знову має місце суттєва відмінність від попереднього значення (тобто від попередньої корекції), то проводять ще одну корекцію і так далі. Однак, при використанні методу Мілна, дуже часто обмежуються лише одним етапом корекції.
Нехай потрібно знайти розв'язок задічі Коші:
Для цього, виберемо деякий крок 
, і покладемо:
Далі, виходячи з того, що для знаходження значення 
метод Мілна використовує інформацію з чотирьох попередніх точок 
, знаходимо їх використовуючи початкову умову та будь-який з однокрокових методів (метод Ейлера, методо Рунге-Кутта).
Розв'язування звичайних диференціальних рівнянь методом Адамса
Нехай потрібно зняйти чисельний розв'язок зажачі Коші:
При використанні однокрокових методів для розв'язання зідічі (1), значення 
залежить тільки від інформації, яка міститься в одній — попередній точці 
. Припустимо, що можна досягнути більш точного результату, якщо використовувати інформацію з декількох попередніх точок 
. Дана ідея і закладена в основу багатокрокових методів.
Модифікований метод Ейлера
Знову, розглянемо диференціальне рівняння виду:
Потрібно знайти наближений розв'язок даного диференціального рівняння на інтервалі [a,b], який задовільняє початковій умові 
. Для цього вибравши крок 
, розбиваємо інтервал на n частин:
Згідно з методом Ейлера, послідовні значення шуканого розв'язку обчислюються за наближеною формулою:
Метод Ейлера для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь
Метод Ейлера — один з найпрстіших чисельних алгоритмів розв'язку звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з заданим початковим значенням тобто задачі Коші. Він є явним, однокроковим методом першого порядку точності, основна ідея якого полягає в тому, що інтегральна крива апроксимується кусочно-лінійною функцією, так званою ламаною Ейлера.
Геометрична інтерпретація методу Ейлера
Розглянемо даний процес більш детально. Для цього запишемо диференціальне рівняння наступного вигляду:
з початковою умовою 
і припустимо, що потрібно занйти його ровз'язок на деякому інтервалі 
. Для цього розіб'ємо заданий інтервал на 
частин з кроком 
. В результаті отримаємо систему рівновіддалених точок:
Загрузка ...