Знаходження власних значень матриці за методом Крилова

Розглянемо метод призначений для знаходження власних значень матриці, алгоритм якого дещо відрізняється від методу Данилевського. Нехай Метод Крилова характеристичний многочлен матриці Метод Крилова. Виходячи з того, що всяка матриця перетворює в нуль свій характеристичний многочлен, будемо мати Метод Крилова.

Візьмемо тепер довільний ненульовий вектор Метод Крилова, розмірність якого співпадає з розмірністю матриці Метод Крилова і помножимо обидві частини рівності (1) з правої сторони на даний вектор, отримаємо: Метод Крилова.

Поклавши Метод Крилова рівність (2) можна переписати в наступному вигляді: Метод Крилова, або

Метод Крилова

Читати повністю

Знаходження власних значень матриці за методом Данилевського в середовищі програмування Delphi

Використання методу Данилевського, при знаходженні власних значень, зводиться до приведення матриці, з допомогою певних перетворень подібності, до такзваної форми Фробеніуса. Результатом даного перетворення буде  матриця, перший рядок якої містить коефіцієнти характеристичного многочлена вхідної матриці. Знайшовши корені даного многочлена, отримуємо шукані власні значення.

Розглянемо delphi-програму, яка на вході приймає матрицю та її розмірність і використовуючи вище розглянутий підхід, знаходить для даної матриці власні значення. Відмітимо, що корені характеристичного многочлена відшукуються за методом хорд.

Інтерфейс програми, яка використовуючи алгоритм методу Данилевського знаходить власні значення матриці

Інтерфейс програми, яка використовуючи алгоритм методу Данилевського знаходить власні значення матриці

Читати повністю

Знаходження власних значень матриці за методом Данилевського

Суть методу Данилевського полягає у приведенні характеристичного визначника матриці до такзваної нормальної форми Фробеніуса:

Метод Данилевського

і розклад його, в подальшому, по елементах першого рядка. В результаті отримаємо характеристичний многочлен степені Метод Данилевського, коефіцієнтами при невідомих якого є елементи першого рядка матриці Фробеніуса:

Метод Данилевського

Очевидно, що рівняння (2) має Метод Данилевського коренів Метод Данилевського, які можна знайти використовуючи будь-який з методів призначених для знаходження розв'язку нелінійного рівняння  (метод хордметод дотичнихметод простої ітерації та інші).

Читати повністю

Знаходження власних значень матриць малої розмірності на Delphi

Програма призначена для відшукання власних чисел матриць малих розмірностей (Власні значення матриці на Delphi) і використовує для цього метод розкриття характеристичного визначника. Даний метод  базується на відшуканні коренів характеристичного многочлена, коефіцієнтами при невідомих якого є суми діагональних мінорів 1-го, 2-го,... порядків. Тобто, в основу даного методу покладено процес знаходження коефіцієнтів многочлена, після чого відшукання його розв'язку одним з відомих методів призначених для розв'язку нелінійного рівняння (метод хорд, метод дотичних, метод простої ітерації та інші), які і являтимуться власними значеннями вхідної матриці. В нашому випадку, для відшукання коренів многочлена, програма використовує метод хорд.

Інтерфейс програми, яка знаходить власні значення матриці

Інтерфейс програми, яка знаходить власні значення матриці за методом розкриття характеристичного визначника

Читати повністю

Власні значення та власні вектори матриці. Метод розкриття характеристичного визначника

Власними значеннями матриці Власні значення матриці називають такі величини metod_rozkryttja_harakterystychnogo_mnogochlena2, які є коренями рівняння Власні значення матриці або Власні значення матриці. Звідси, якщо Власні значення матриці, попереднє рівняння перепишемо у наступному вигляді Власні значення матриці. Якщо даний визначник розкрити відносно metod_rozkryttja_harakterystychnogo_mnogochlena2, то отримаємо так зване характеристичне рівняння матриці Власні значення матриці у вигляді полінома степені Власні значення матриці відносно власних значень:

Власні значення матриці

де Власні значення матриці — сума всіх діагональніх мінорів першого порядку матриці Власні значення матриці; Власні значення матриці — сума всіх діагональних мінорів другого порядку матриці Власні значення матриці; Власні значення матриці — сума всіх діагональних мінорів третього порядку матриці Власні значення матриці;...; Власні значення матриці — детермінант матриці Власні значення матриці.

Власні значення матриці

Читати повністю

« Попередня сторінка