Застосування методу Крилова для знаходження власних векторів матриці

Метод Крилова, як і метод Данилевського, дає можливість достатньо просто знайти власні вектора матриці, якщо коефіцієнти характеристичного полінома та його коріння визначені. Продемонструємо це і для простоти обмежимося випадком, коли характеристичний многочлен  матриці , має різні корені .

Отже, нехай  — вектори, використовувані в методі Крилова для знаходження коефіцієнтів . Розкладаючи вектор за власними векторами матриці отримаємо:

Де  — деякі коефіцієнти.

Звідси, враховуючи, що , отримаємо:

Нехай,  — довільна система многочленів. Тоді, складаючи лінійну комбінацію векторів з коефіцієнтами з (3) та в силу співвідношень (1) і (2), знаходимо:

Читати повністю

Пошук власних векторів матриці методом Данилевського

Розглянутий в параграфі Пошук власних значень матриці метод Данилевського дає можливість визначати не тільки всі власні значення матриці , а і всі її власні вектори, при умові, що відповідні їм власні значення являються відомими. Покажемо, яким чином це реалізується. Отже, нехай  — власне значення матриці , а отже, і власне значення подібної їй матриці Фробеніуса .

Знайдемо власний вектор матриці , який відповідає власному значенню . Для цього, запишемо лінійне рівняння наступного вигляду: . Звідси або у матрично-векторній формі:

Перемноживши матриці, отримаємо систему для визначення координат власного вектора :

Система (3) — однорідна. Рішення її може бути знайдене в такий спосіб. Покладемо . Тоді, починаючи з останнього рівняння, послідовно отримаємо:

Читати повністю

Псевдообернена матриця. Обертання прямокутних та вироджених матриць

В попередніх параграфах для квадратної невиродженої матриці розглядалася обернена матриця . Якщо ж матриця  прямокутна або квадратна, але вироджена, то вона немає класичної оберненої матриці. Однак в цьому випадку може бути введено поняття узагальненої оберненої матриці , яка має деякі властивості оберненої та використовується при вирішенні деяких систем лінійних алгебраїчних рівнянь. У разі, коли  — квадратна невироджена матриця, узагальнена обернена матриця збігається з оберненою матрицею .

Узагальненою оберненою (псевдооберненою) матрицею для прямокутної матриці  з розмірами називають єдину матрицю, що задовольняє чотирьом умовам:

де означає перехід до сполученої матриці.

Читати повністю

Відшукання власних значень матриці використовуючи метод Федєєва в середовищі програмування Delphi

Програма призначена для відшукання власних значень матриці використовуючи метод Федєєва. Даний метод являється модифікацією методу Левер'є і за рахунок певних спрощень при обчисленні коефіцієнтів характеристичного многочлена, вважається більш ефективним. Також слід відмітити, що  з допомогою методу Федєєва можна також визначити власні вектори та знайти обернену матрицю до заданої.

На вході програма приймає квадратну матрицю розмірності N×N. Після чого, використовуючи алгоритм методу Федєєва, відшукує коефіцієнти характеристичного многочлена і в подальшому, з допомогою методу хорд, знаходить корені характеристичного рівняння. Отриманий розв'язок і являтиметься шуканими власними значеннями заданої матриці.

Читати повністю

Знаходження власних значень матриці використовуючи метод Фадєєва

Метод Фадєєва також відноситься до точних чисельних методів призначених для відшукання власних значень матриці і являється певною модифікацією методу Левер'є. Даний метод вважається більш ефективним, тому що крім спрощень при обчисленні коефіцієнтів характеристичного полінома він дозволяє визначити власні вектори та обернену матрицю до заданої.

Основна ідея методу Фадєєва полягає в тому, що замість послідовності Метод Федєєва, яку ми відшукували використовуючи алгоритм методу Левер'є, обчислюють послідовність Метод Федєєва, побудовану за наступними формулами:

Метод Фадєєва

де Метод Фадєєва — одинична матриця того ж самого порядку, що і матриця Метод Фадєєва; Метод Фадєєва сліди матриць Метод Федєєва відповідно.

Читати повністю