Ранг матриці. Обчислення рангу матриці за методом обвідних мінорів та методу елементарних перетворень

Розглянемо матрицю Ранг матриці розмірності Ранг матриці. В даній матриці виділимо будь-які Ранг матриці рядкуів і таку саму кількість стовпців, де число Ранг матриці не повинно перевищувати загальну кількість рядків і стовпців заданої матриці, тобто Ранг матриці. Визначник, який утворится з елементів, що стоять на перетині виділених Ранг матрицірядків і стовпців називається мінором Ранг матриці-го порядку матриці Ранг матриці. Найбільший з порядків відмінних від нуля мінорів даної матриці називається її рангом. З даного означення випливає наступне:

  1. Ранг існує для будь-якої матриці Ранг матриці розмірності Ранг матриці, причому Ранг матриці.
  2. Ранг матриці тоді і тільки тоді, коли коли всі елементи матриці Ранг матриці рівні нулю.
  3. Для квадратної матриці Ранг матриці-го порядку ранг дорівнює Ранг матриці тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена, тобто її визначник відмінний від нуля.

Серед алгоритмів для знаходження рангу матриці виділяють два: метод обвідних мінорів та метод елементарних перетворень. Перший з них полягає в наступному: на першому кроці, знаходимо будь-який мінор rang_matrici10 першого порядку (тобто елемент матриці) відмінний від нуля. Якщо такого мінора немає то матриця являється нульовою і ранг такої матриці, як було вище сказано рівний нулю. Якщо ж серед мінорів першого порядку існух хоча б один відмінний від нуля, то переходимо до обчислення мінорів другого порядку, які містять в собі rang_matrici10 (обводять rang_matrici10) до тих пір, поки не знайдем мінор rang_matrici111 відмінний від нуля. Якщо такого мінора немає, то rang_matrici12, якщо є, то rang_matrici13 і так далі продовжуючи даний процес, переходимо до обчислення мінорів rang_matrici14-го порядку, якщо вони існують, які обводять мінор rang_matrici15. Якщо таких мінорів немає, або вони всі дорівнюють нулю, то Ранг матриці, якщо хочаб один мінор rang_matrici16, то rang_matrici17 і так далі.

Читати повністю

Обчислення детермінанта квадратної матриці методом розкладу по першому рядку в середовищі Delphi

Програма призначена для знаходження визначника (детермінанта) квадратної матриці і використовує для цього наступний підхід: визначник n-го порядку зводиться до обчислення суми визначників-мінорів (n-1) -го порядку, після чого, обчислення кожного з таких визначників-мінорів, в свою чергу, зводиться до обчислення суми визначників-мінорів (n-2) -го порядку і так далі. Даний процес продовжують до тих пір, поки, не отримають визначники 2-го порядку, який обчислюється за наступним правилом: детермінант матриці другого порядку дорівнює добутку елементів, що розташовані на головній діагоналі, від якого віднімаються добуток елементів побічної. Даний підхід носить назву методом розкладу визначника по рядку (стовпці) (в нашому випадку розклад здійснюється по першому рядку).

Головне вікно проекту складається з панелі інструментів та таблиці (компонент StringGrid), яку необхідно заповнити значеннями елементів матриці. Розмірність даної таблиці залежить від значення яке міститься в полі "Розмірність матриці". Тобто від користувача вимагається вказати розмірність матриці, детермінант якої необхідно обчислити, заповнити таблицю значеннями її елементів після чого натиснути кнопку "Знайти визначник". Результатом виконання програми є вивід в статусному рядку отриманого значення.

Читати повністю

Обчислення визначників високих порядків за схемою розкладу визначника по рядку чи стовпці

Перш ніж приступити до розгляду формули для обчислення визначників розмірність яких перевищує три, давайте пригадаємо, яким чином їх знаходять для матриць менших розмірностей. Отже, визначником матриці другого порядку називається число, яке записується і обчислюється наступним чином:

Детермінант матриці з допомогою алгебраїчних доповнень

тобто, від добутку елементів, що стоять на головній діагоналі, віднімаємо добуток елементів бічної дівгоналі.

Визначником матриці третього порядку називається число, яке зазвичай обчислюється за правилом трикутника, а саме: визначник третього порядку дорівнює сумі добутків елементів, що стоять на головній діагоналі, та двох трикутниках, які будуємо так, щоб одна із сторін була паралельна головній діагоналі і всі елементи якого повинні бути у різних рядках та стовпцях. Після цього, від даної суми віднімається сума дібутків елементів, що розташовані на бічній діагоналі та на двох трикутниках, які будуємо так, щоб одна із сторін трикутника була паралельна бічній діагоналі, та всі елементи були на різних рядках та стовпцях. Дане правило описується насутпною формулою:

Читати повністю