Мітки: визначник матриці

Розв’язок однорідних систем лінійних рівнянь в середовищі програмування delphi

Система, що складається з лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими називається однорідною, якщо значення кожного з елементів стовпця її вільних членів дорівнює нулю. Найважливішою властивістю системи такого типу є те, що вона містить принаймі один розв’язок, тобто завжди сумісна. Дійсно, підставивши замість всіх невідомих нулі, обернено кожне з її рівняннь в тотожність. Таким чином, нульовий розв’язок, є розв’язком будь-якої однорідної системи.

Втім, більш важливим є випадок наявності у однорідної системи відмінних від нуля розв’язків, які, очевидно, будуть існувати тоді, коли матриця її коефіцієнтів є виродженою (визначник дорівнює нулю) або кількість її рівнянь менша за кількості невідомих. Більш детально розглядати інформацію про однорідні системи та процес знаходження їх загального розв’язку (фундаментальної системи рішень) тут не будемо, її можна знайти перейшовши за посиланням Знаходження розв’язку однорідної системи лінійних рівнянь, а перейдемо до розгляду delphi-проекту, який реалізує даний процес.

Отже, головне вікно розглядуваного delphi-проекту практично не відрізняється від проектів, які реалізують інші чисельні методи рішення задач такого типу, лише з однією відмінністю. Виходячи з того, що проект призначений для розв’язку однорідних системи, то вказувати значення стовпця вільних членів у відповідній таблиці TStringGrid не потрібно, вона по замовчуванню заповнюється нулями.

Читати далі

Розв’язок СЛАР методом Крамера в середовищі програмування delphi

Серед точних чисельних методів призначених для розв’язку систем лінійних рівнянь – крім методу Гаусса також широкого застосування дістало і правило Крамера (метод Крамера). Метод заснований на роботі з визначниками і дозволяє легко розв’язати систему лінійних рівнянь. Також слід зазначити, що метод Крамера підходить тільки для тих випадків, коли система складається не більше ніж з трьох лінійних рівняняь та визначник даної системи не повинен дорівнювати нулю. В іншому випадку доведеться використовувати вищезгадуваний метод Гаусса чи будь-який інший чисельний метод. Детально розглядати теоретичну частину методу Крамера не будемо (міститься за посиланням Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера), а приступимо до розгляду delphi-проекту, який реалізує даний метод.

Інтерфейс головної форми розглядуваного delphi-проекту не відрізняється від проектів, які реалізують інші чисельні методи признячені для рішення основної проблеми лінійної алгебри, а саме відшукання розв’язку лінійних систем, лише з одною відмінністю – розмірність системи являється незмінним числом і дорівнює три. Тобто програма призначена для відшукання розв’язку системи трьох рівнянь з трьома невідомими.

Читати далі

Обчислення детермінанта квадратної матриці методом розкладу по першому рядку в середовищі Delphi

Програма призначена для знаходження визначника (детермінанта) квадратної матриці і використовує для цього наступний підхід: визначник n-го порядку зводиться до обчислення суми визначників-мінорів (n-1) -го порядку, після чого, обчислення кожного з таких визначників-мінорів, в свою чергу, зводиться до обчислення суми визначників-мінорів (n-2) -го порядку і так далі. Даний процес продовжують до тих пір, поки, не отримають визначники 2-го порядку, який обчислюється за наступним правилом: детермінант матриці другого порядку дорівнює добутку елементів, що розташовані на головній діагоналі, від якого віднімаються добуток елементів побічної. Даний підхід носить назву методом розкладу визначника по рядку (стовпці) (в нашому випадку розклад здійснюється по першому рядку).

Головне вікно проекту складається з панелі інструментів та таблиці (компонент StringGrid), яку необхідно заповнити значеннями елементів матриці. Розмірність даної таблиці залежить від значення яке міститься в полі “Розмірність матриці”. Тобто від користувача вимагається вказати розмірність матриці, детермінант якої необхідно обчислити, заповнити таблицю значеннями її елементів після чого натиснути кнопку “Знайти визначник”. Результатом виконання програми є вивід в статусному рядку отриманого значення.

Читати далі

Обчислення визначників вищих порядків за схемою розкладу визначника по рядку чи стовпці

Перш ніж приступити до розгляду формули для обчислення визначників розмірність яких перевищує три, давайте пригадаємо, яким чином їх знаходять для матриць менших розмірностей. Отже, визначником матриці другого порядку називається число, яке записується і обчислюється наступним чином:

тобто, від добутку елементів, що стоять на головній діагоналі, віднімаємо добуток елементів бічної дівгоналі.

Визначником матриці третього порядку називається число, яке зазвичай обчислюється за правилом трикутника, а саме: визначник третього порядку дорівнює сумі добутків елементів, що стоять на головній діагоналі, та двох трикутниках, які будуємо так, щоб одна із сторін була паралельна головній діагоналі і всі елементи якого повинні бути у різних рядках та стовпцях. Після цього, від даної суми віднімається сума добутків елементів, що розташовані на бічній діагоналі та на двох трикутниках, які будуємо так, щоб одна із сторін трикутника була паралельна бічній діагоналі, та всі елементи були на різних рядках та стовпцях. Дане правило описується насутпною формулою:

Читати далі

Знаходження власних значень матриць малої розмірності на Delphi

Програма призначена для відшукання власних чисел матриць малих розмірностей (Власні значення матриці на Delphi) і використовує для цього метод розкриття характеристичного визначника. Даний метод  базується на відшуканні коренів характеристичного многочлена, коефіцієнтами при невідомих якого є суми діагональних мінорів 1-го, 2-го,… порядків. Тобто, в основу даного методу покладено процес знаходження коефіцієнтів многочлена, після чого відшукання його розв’язку одним з відомих методів призначених для розв’язку нелінійного рівняння (метод хорд, метод дотичних, метод простої ітерації та інші), які і являтимуться власними значеннями вхідної матриці. В нашому випадку, для відшукання коренів многочлена, програма використовує метод хорд.

Інтерфейс програми, яка знаходить власні значення матриці

Інтерфейс програми, яка знаходить власні значення матриці за методом розкриття характеристичного визначника

Читати далі

Власні значення та власні вектори матриці. Метод розкриття характеристичного визначника

Власними значеннями матриці Власні значення матриці називають такі величини metod_rozkryttja_harakterystychnogo_mnogochlena2, які є коренями рівняння Власні значення матриці або Власні значення матриці. Звідси, якщо Власні значення матриці, попереднє рівняння перепишемо у наступному вигляді Власні значення матриці. Якщо даний визначник розкрити відносно metod_rozkryttja_harakterystychnogo_mnogochlena2, то отримаємо так зване характеристичне рівняння матриці Власні значення матриці у вигляді полінома степені Власні значення матриці відносно власних значень:

Власні значення матриці

де Власні значення матриці – сума всіх діагональніх мінорів першого порядку матриці Власні значення матриці; Власні значення матриці – сума всіх діагональних мінорів другого порядку матриці Власні значення матриці; Власні значення матриці – сума всіх діагональних мінорів третього порядку матриці Власні значення матриці;…; Власні значення матриці – детермінант матриці Власні значення матриці.

Власні значення матриці

Читати далі

Обчислення елементів оберненої матриці за допомогою розв’язку відповідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Ми вже знаємо, що матриці можна додавти і множити. У цьому сенсі вони схожі на числа. Проте, числа можна ще й ділити. Виявляється, що у матричному численні існує операція, що відповідає операції ділення в арифметиці, яку пов’язують з поняттям оберненої матриці. Розглянемо дане поняття більш детально. Отже, всім відома проста залежність, яку можна представити у наступному вигляді:

Ця залежність означає, що добуток будь-якого числа на обернене йому число дорівнює одиниці. У матричній алгебрі існує аналогічний зв’язок. Якщо матриця квадратна і невироджена (матриця, визначник якої відмінний від нуля), то для неї існує матриця, що позначається символом і називається оберненою матрицею до матриці , для якої справедлива наступна рівність:

Тобто, матриця , в деякому сенсі, аналогічна оберненому числу в арифметиці, проте процес обчислення оберненої матриці дещо складніший. Опишемо один з можлививх варіантів даного процесу, який базується на тому, що матриця  є розв’язком матричного рівняння , де .

Читати далі

Обчислення визначника матриці методом Гаусса

Розглядаючи розрахункові формули обчислення визначників матриці 2х2 та матриці 3х3 нами також було розглянуто, такзване, загальне правило обчислення визначників -о порядку. Проте, як видно з прикладу, навіть для матриць розмірність яких не перевищує чотири, дана схема являється довілі складною і вимагає великого обсягу обчислень. Проте, скориставшись відомим фактом, який говорить про те, що для обчислення визначників будь-якого порядку можна використовувати алгоритми точних методів, призначених для розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, процес рішення задач такого типу можна значно спростити. Наприклад, результати перетворень прямого ходу методу Гаусса зводять матрицю до такої форми, яка дає змогу легко обчислити її визначник (визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів). Розглянувши деяку квадратну матрицю  розмірності  покажемо яким чином це реалізується.

Отже, згідно з алгоритмом методу Гаусса, для приведення матриці (1) до еквівалентної їй матриці трикутного вигляду, на першому етапі, замінимо другий, третій,…, -й рядки матриці , на рядки, які отримують в результаті додавання цих рядків до першого, помноженого на відповідно. Результатом виконання даного етапу буде матриця наступного вигляду:

Читати далі