Приклад знаходження дерева мінімальної вартості для орієнтованого графа за алгоритмом Дейкстри

Розглянемо деякий орієнтований гряф, для якого потрібно знайти найкоротший маршрут від вершини 1 до всіх інших вершин. Для розв'язку задач такого типу доцільно використовувати алгоритм Дейкстри.

Алгоритм Дейкстри

Слідуючи алгоритму, початковій вершині (вершина під номером 1) присвоюємо постійну мітку Алгоритм Дейкстри після чого переходимо до першого етапу.

Етап 1: з вершини 1 існує орієнтоване ребро до вершин 2, 4 і 5. Обчислимо для даних вершин відповідні мітки. В результаті отримаємо наступну таблицю.

Алгоритм Дейкстри

Читати повністю

Знаходження найкоротшого шляху в орієнтованому графі за алгоритмом Дейкстри

Алгоритм Дейкстри, на відміну від алгоритму Флойда з допомогою якого можна відшукати найкоротший маршрут між будь-якими двома вершинами графа, призначений для пошуку маршруту найкоротшої довжини від заданої вершини графа до всіх інших. В процесі виконання даного алгоритму при переході від вершини i до вершини j використовується спеціальна процедура, яка кожній вершині графа присвоює відповіду мітка.

Позначемо через Алгоритм Дейкстри найкоротша відстань від початкової вершини 1 до вершини i, через Алгоритм Дейкстри — довжину ребра (i, j). Тоді для вершини j мітка Алгоритм Дейкстри визначається наступним чином:

Алгоритм Дейкстри

Мітки в алгоритмі Дейкстри можуть бути двох типів: тимчасові або постійні. Тимчасова мітка може бути замінена на нову також тимчасову, якщо в процесі виконання алгоритму буде знайдено більш короткий маршрут до даної вершини. Якщо ж в процесі виконання алгоритму виявиться, що  більш короткого маршруту від початкової до даної вершини не існує, то змінюємо статус тимчасової мітки на постійну.

Читати повністю

Приклад знаходження дерева мінімальної вартості для орієнтованого графа за алгоритмом Флойда

Нехай дано деякий граф, для якого потрібно знайти дерево мінімальної вартості.

Алгоритм Флойда

Для рішення даної проблеми використаємо алгоритм Флойда, з допомогою якого, за n етапів (n — кількість вершин графа),  можна відшукати найкоротший маршрут між будь-якими двома вершинами графа.

Перш ніж приступити до розв'язку, запишемо початкову матрицю відстаней Алгоритм Флойда та початкову матрицю вершин Алгоритм Флойда.

Алгоритм Флойда

Переходимо до 1-го  етапу: в матриці Алгоритм Флойда виділимо синім кольором ведучий рядок і колонку під номеромАлгоритм Флойда. Також, червоним кольором виділимо ті елементи матриці Алгоритм Флойда, значення яких можна покращити з допомогою трикутного оператора.

Читати повністю

Визначення найкоротшого шляху за алгоритмом Флойда

Основна ідея алгоритму Флойда полягає в наступному: нехай є три вершини графа i, j і k, які поєднані між собою ребрами заданої довжини.

Алгоритм Флойда

Трикутний оператор Флойда

Якщо виконується нерівність Алгоритм Флойда, то доцільно замінити маршрут від вершини i до  вершини k (Алгоритм Флойда) маршрутом Алгоритм Флойда. Така заміна (іншими словами трикутний оператор) виконується в процесі виконання алгоритму Флойда.

Алгоритм Флойда складається з n етапів (де n кількість вершин графа).

Етап 0: на даному етапі визначаємо початкову матрицю відстаней Алгоритм Флойда і матрицю послідовності вершин Алгоритм Флойда. Діагональні елементи обох матриць в обчисленні не беруть участь, тому позначаємо їх символом «-». Також на даному етапі покладають Алгоритм Флойда.

Читати повністю

Алгоритм Крускала

Алгоритм Крускала, так само, як і алгоритм Прима призначений для пошуку дерева мінімальної вартості неорієнтованого графа. Основна відмінність між даними алгоритмами полягає в тому, що пошук дерева мінімальної довжини за алгоритмом Крускала починається з n дерев, кожне з яких складається з однієї вершин. І на кожному кроці виконуємо операцію об'єднання двох дерев, використовуючи для цього ребро найкоротшої довжини. Процес продовжується поки не отримаємо єдине дерево, яке охоплює всі n вершин вхідного графа, і не містить циклів.

Розглянемо деякий неорієнтований граф, і спробуємо побудувати для нього дерево мінімальної вартості за вище розглянутим алгоритмом.

Алгоритм Крускала

Крок 1: вибираємо ребро найменшої вартості: 1−3=1. В результаті отримаємо одне дерево, яке складається з двох вершин і одного ребра (на малюнку позначено зеленим кольором) та 4 дерева, які містять по одній вершині.

Читати повністю

Знаходження дерева мінімальної вартості за алгоритмом Крускала на Delphi(2)

Програма знаходить дерево мінімальної вартості неорієнтованого графа використовуючи алгоритм Крускала. Побудова графа здійснюється у візуальному редакторі та з допомогою матриці суміжності.

Головна форма даного проекту аналогічна формі програми, яка реалізує алгоритм Прима, тому більш детально переглянути процес побудови графа та знаходження дерева мінімальної вартості можна перейшовши за посиланням алгоритм Прима на Delphi(2).

Алгоритм Крускала на Delphi

Читати повністю

Алгоритм Прима

Алгоритм Прима полягає в побудові дерева, яке на кожному кроці збільшується на одне ребро. Тобто, побудова починається з графа, який складається з однієї вершини до якої додаємо n-1-ну вершину. При цьому, кожен раз, вибираємо мінімальне ребро, яке з'єднює вершину, що вже належить дереву мінімальної вартості, з вершиною, яка ще не міститься в даному дереві.

Розглянемо деякий неорієнтований граф, і спробуємо знайти для нього дерево мінімальної вартості за вище розглянутим алгоритмом.

algoritm_prima1

В якості початкової вибираємо будь-яку вершину графа, нехай вона буде під номером 1. Вершина №1 з'єднана з вершинами  №2, №3 і №4. Вибираємо серед них ту, яка має з вершиною 1 ребро найменшої довжини. В нашому прикладі такою є вершина 3 (довжина ребра рівна одиниці). Додаємо її до дерева.

Читати повністю

« Попередня сторінка