Мішаний добуток трьох векторів

Нехай дано три вектора , і . Вектор помножимо векторно на , векторний добуток помножимо скалярно на , в результаті отримуємо число, яке називають векторно-скалярним добутком або мішаним добутком з трьох векторів . Мішаний добуток позначається .

Векторно-скалярний добуток з трьох некомпланарних векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , взятому зі знаком плюс, якщо трійка  — права і зі знаком мінус, коли ця трійка — ліва.

Мішаний добуток векторів

Ілюстрація до визначення мішаного добутку

Дійсно, . Тут  — площа паралелограма, побудованого на векторах  та  і  — висота паралелепіпеда. Таким чином, .

Читати повністю

Векторний добуток двох векторів

Векторним добутков двох векторів і називається третій вектор , який задовольняє наступним умовам:

  1. Вектор  перпендикулярний кожному з векторів  і .
  2. Довжина вектора  дорівнює площі паралелограмма, побудованого на векторах та , тобто , де  — кут між даними векторами.
  3. Вектори  і  утворюють праву трійку.

Для векторного добутку, так само як і для скалярного добутку, використовуються різні позначення, а саме  та . Ми ж будемо дотримуватися першого з них, тобто .

Векторний добуток двох векторів

Ілюстрація до визначення векторного добутку

Зауваження: некомпланарні вектори , взяті у вказаному порядку, утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора найкоротший поворот від  до  спостерігається проти ходу годинникової стрілки, і ліву трійку, якщо за годинниковою.

Читати повністю

Скалярний добуток векторів

Під скалярним добутком двох векторів і розуміють число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

де  — менший кут між векторами та  (). Разом із символом  в літературі часто використовуються й інші позначення, а саме або .

Оскільки проекція вектора на вісь дорівнює його модулю, помноженому на косинус кута нахилу вектора до цієї осі, то маємо:

Тоді, формулу (1) можна переписати у наступному вигляді:

Таким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює довжині одного з них, помноженої на проекцію другого вектора на вісь, напрямок якої визначається першим вектором.

Читати повністю

Проекція вектора на вісь

Нехай задано вектор і вісь L. З кінців вектора опустимо перпендикуляри на вісь (точки та ) і утворимо вектор A1B1.

Проекцією вектора на вісь L називають довжину вектора A1B1, взяту зі знаком «плюс», якщо напрямки вектора A1B1та осі L співпадають, і зі знаком «мінус», якщо вказані напрямки протилежні.

Проекція вектора на вісь

Ілюстрація до визначення проекції вектора на вісь

Проекцію вектора будемо позначати через  або , де - будь-який ненульовий вектор, що задає напрямок проектування.

Читати повністю

Множення вектора на число

Добутком вектора на число називається вектор , колінеарний вектору , який має довжину і спрямований у той самий бік, що й вектор , якщо , і в протилежний, якщо (для позначення використовують запис ).

Множення вектора на число

Зауваження: якщо вектор  заданий своїми координатами та , то добуток цього вектора на число  — це вектор , координати якого дорівнюють відповідним координатам даного вектора , помноженим на число : .

Читати повністю

Додавання і віднімання векторів

Нехай  і  — два довільних вектори. За допомогою паралельного перенесення приведемо вектор до довільної точки , а потім від кінця цього вектора відкладемо вектор . Сумою цих векторів буде вектор , початок якого збігається з початком вектора  , а кінець — із кінцем  (правило трикутників).

Сума векторів, правило трикутника

Додавання векторів — правило трикутника

Для знаходження суми векторів можна також користуватись правилом паралелограма, згідно з яким вектори  та  приводять до спільного початку (точки ) і будують на цих векторах, як на суміжних сторонах, паралелограм. Тоді його діагональ, що виходить зі спільної вершини , є сумою векторів .

Читати повністю

Означення вектора. Напрям і модуль вектора

У повсякденній практиці ми маємо справу з величинами двох видів. Одні з цих величин такі, як температура, час, маса, довжина, площа можна визначити одним числовим значенням, інші ж величини, такі, як сила, швидкість, прискорення можна визначити тільки тоді, коли відомо не тільки їх числове значення, а й напрям у просторі. Величини першого виду називають скалярними величинами або скалярами. Величини другого виду називають векторними величинами.

Кожну векторну величину геометрично можна зобразити напрямленим прямолінійним відрізком — вектором, довжина якого дорівнює числовому значенню векторної величини (у вибраному масштабі) і напрям співпадає з напрямом цієї величини.

Нульовий вектор, колінеарні вектори, рівні вектори

Ілюстрація до визначення вектора

Вектор визначають двома точками: перша — це початок, друга — його кінець. При цьому, додатним напрямом вектора вважається напрямок від його початкової до кінцевої точки, наприклад, вектор має початок у точці і кінець у точці (стрілка вказує напрям вектора).

Читати повністю