Метод відображень. Розв'язок систем лінійних рівнянь методом відображень

Алгоритм методу відображень (Хуасхолдера) при знаходженні розв'язку системи лінійних рівнянь Метод відображення складається з Метод відображення-го кроку (де Метод відображення — розмірність матриці), після виконання яких матриця Метод відображення системи (1) приводиться до верхньої трикутної формі. Наступним етам алгоритму є відшукання значень вектора невідомих, які отримують аналогічно, як і у методі Гаусса, тобто спочатку знаходимо значення останньої компоненти вектора невідомих, потім передостанньої і так далі.

Розглянемо даний алгоритм більш детально. Нехай в результаті виконання Метод відображення-го кроку матриця коефіцієнтів Метод відображення і вектор вільних членів Метод відображення системи (1) набули наступного виду:

Метод відображення

Читати повністю

Розв'язок СЛАР методом обертання засобами Delphi

Розглянемо програмну реалізацію, ще одного методу, який для розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівняняь (СЛАР) використовує ідею зведення матриці коефіцієнтів до трикутного вигляду. Як і в методі Гаусса, алгоритм методу обертання складається з прямого і оберненого ходу. Основна мета прямого ходу — приведення системи до трикутного вигляду послідовним обнуленням елементів, які розташовані нижче головної діагоналі. Знаходження невідомих не відрізняється від оберненого ходу методу Гаусса. Більш детально алгоритм методу обертання розглядати не будемо. Його можна знайти за посиланням Розв'язок СЛАР методом обертання. Ми ж приступимо до розгляду delphi-проекту, який реалізує даний алгоритм.

Після запуску проекту на виконання на екрані появиться вікно наступного виду:

Читати повністю

Розв'язок системи лінійних рівнянь використовуючи метод обертань

Метод Гаусса являється не єдиним методом який для розв'язку системи лінійних рівнянь використовує ідею зведення матриці коефіцієнтів до трикутного вигляду. Існує ще два методи, які можна віднести до категорії методів виключення невідомих, а саме метод обертань та метод відображень. Обидва цих методи базуються на представленні матриці qr_rozklad_matruci51 у вигляді добутку ортогональної матриці qr_rozklad_matruci52 та верхньої трикутної матриці qr_rozklad_matruci45. Нагадаємо, що матриця qr_rozklad_matruci52 називається ортогональною, якщо для неї виконується наступна умова: QR розклад матриці або qr_rozklad_matruci2.

Розглянемо спочатку метод обертань з допомогою якого будемо відшукувати розв'язок системи лінійних рівнянь наступного виду:

qr_rozklad_matruci3

Даний метод, як і метод Гаусса, складається з прямого і оберненого ходу.

Читати повністю

Розв'язок системи лінійних рівнянь матричним методом (метд оберненої матриці) в середовищі Delphi

Знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь за матричним методом (метод оберненої матриці) вимагає виконання наступних кроків:

  1. Для матриці, елементами якої є коефіцієнти при невідомих вхідної системи, необхідно знайти обернену матрицю.
  2. Отримана обернена матриця множиться на стовпець вільних членів.
  3. Результат даного множення і беде шуканим розв'язком.

Далі  розглянемо delphi-проект, який використовуючи даний алгоритм знаходить рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Головна форма проекту складається з панелі інструментів (містить кнопкe «Розв'язати систему рівнянь» — реалізує алгоритм матричного методу; кнопку «Очистити матрицю»; компонент SpinEdit з допомогою якого задаєм розмірність матриці). Під панеллю інструментів міститься розширена матриця (компонент StringGrid), тобто матриці, останній стовпець якої містить стовпець вільних членів системи. І в нижній частині форми розташований статусний рядок, в який виводиться результат виконання програми.

Читати повністю

Знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод оберненої матриці

Нехай маємо систему метод оберненої матриці лінійних алгебраїчних рівнянь з метод оберненої матриці невідомими Метод оберненої матриці:

Метод оберненої матриці

Для зручності систему (1) запишемо у матрично-векторній формі Метод оберненої матриці, де Метод оберненої матриці — матриця, елементами якої є коефіцієнти при невідомих системи (1), Метод оберненої матриці — вектор-стовпець вільних членів, Метод оберненої матриці — вектор-стовпець невідомих. Далі, при умові, що визначник матриці Метод оберненої матриці відмінний від нуля (Метод оберненої матриці), переходимо до обчислення елементів оберненої матриці Метод оберненої матриці.

Читати повністю

Знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод квадратного кореня

Метод квадратного кореня (відноситься до категорії точних чисельних методів) використовується для знаходження розв'язку систем лінійних рівнянь, з симетричною матрицею коефіцієнтів при невідомих, тобто для систем виду:

Метод квадратного кореня

де Метод Квадратного кореня. Процес відшукання розв'язку за даним методом складається з двох етапів. Перший етап (прямий хід): виходячи з того, що Метод квадратного кореня — симетрична матриця, то її можна представити у вигляді добутку двох взаємно транспонованих між собою трикутних матриць: Метод квадратного кореня, де

Метод квадратного кореня

Перемноживши Метод квадратного кореня і Метод квадратного кореня, отримаємо деяку матрицю, яку прирівнюємо до матриці Метод квадратного кореня. В результаті отримаємо формули, для знаходження невідомих Метод квадратного кореня:

Читати повністю

Знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод Гаусса з вибором головного елемента в середовищі програмування Delphi

Знаходження розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь являється однією з основних задач лінійної алгебри, а метод Гаусса (також називають методом послідовного виключення невідомих) — одним з найпоширеніших методів для рішення систем такого виду. Даний метод відомий в різних модифікаціях, серед яких виділяють метод Гаусса з вибором головного елемента.

Метод головних елементів також заснований на приведенні матриці системи до трикутного вигляду. Проте, на відміну від класичного методу Гаусса, в методі головних елементів алгоритм приведення матриці до такого вигляду дещо відрізняється. На прершому кроці, серед елементів матриці системи вибираємо максимальний за модулем елемент, який не належить стовпчику вільних членів. Нехай це буде елемент, який знаходиться в i-му рядку та j-й колонці (головний елемент). Далі, виключаємо з усіх рівнянь системи крім рівняння під номером i, невідому Xj. В результаті отримуємо матрицю, j-й стовпець якої складається з нульових елементів. Викрисливши з розгляду рядок і колонку в яких міститься головний елемен переходимо до нової матриці, яка складається з меншої на одиницю кількості рядків і колонок.

Читати повністю

« Попередня сторінкаНаступна сторінка »