Розв'язок системи лінійних рівнянь методом підстановки в середовищі програмування delphi

Delphi-проект «Розв'язок системи лінійних рівнянь методом підстановки» реалізує один із, такзваних, «шкільних способів» рішення лінійних систем.  Основна суть способу підстановки полягає в тому, що, спочатку, з одного рівняння системи виражається значення однієї із невідомих. Потіам, отриманий вираз підставляється замість цієї невідомої в друге рівняння. Таким чином, отримують рівняння з однією невідомою, яке легко розв'язується. Після цього, залишається лише підставити знайдене значення в одне з рівнянь і таким чином отримати шуканий розв'язок.

Робота даного проекту демонструється на прикладі, який ми розв'язували при розгляді теоретичної частини даного алгоритму. Відмітимо, що за бажанням з нею можна ознайомитись перейшовши за посиланням Знаходження розв'язку лінійних систем методом підстановки.

Головне вікно delphi-проекту практично не відрізняється від проектів, які реалізують інші чисельні методи рішення задач такого типу (Розв'язок однорідних систем в середовищі програмування delphi, Розв'язок СЛАР методом Крамера на delphi, Розв'язок СЛАР методом Жордана-Гаусса на delphi та інші), лише з однією відмінністю. Виходячи з того, що програма призначена для знаходження розв'язку двох лінійних рівнянь з двома невідомим, то розмірність матриці коефіцієнтів, а відповідно і стовпця вільних членів, задавати не потрібно.

Читати повністю

Розв'язок системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими методом підстановки

Знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь, являється однією з найбільш важливіших задач лінійної алгебри. Відмітимо, що на даному сайті розглядається велика кількість точних та ітераційних чисельних методів (метод Крамера, метод Гаусса, метод простої ітерації та інші), рішення задач такого типу. Сьогодні, доповнимо її ще одним методом, який на відміну від розглянутих, являється менш універсальним, тобто вирішує системи малої розмірності, а саме системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими і називається методом підстановки.

Основна суть методу підстановки полягає в тому, що в одному з рівнянь системи (не важливо якому) одна невідома виражається через іншу. Після цього в друге рівняння системи, замість відповідної невідомої, підставляється вираз (отриманий на попередньому кроці), якому відповідає ця невідома. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього припустимо, що нам необхідно знайти розв'язок система лінійних рівнянь виду:

Для того щоб розв'язати дану систему методом підстановки будемо слідувати простому алгоритму:

Читати повністю

Розв'язок систем з прямокутною та виродженою матрицею в середовищі delphi

Програма призначена для знаходження розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Відмітимо, що на даному сайті міститься великий вибір delphi-проектів, які реалізують різні чисельні методи рішення задач такого типу. Проте, всі вони, являються ефективними лише в тому випадку, коли матриця коефіцієнтів при невідомих системи є квадратною та невиродженою (матриця визначник якої відмінний від нуля). Однак, в математиці існує широке коло задач, при розв'язку яких можуть виникнути системи лінійних алгебраїчних рівнянь, які не підлягають даним критеріям, тобто матриця коефіцієнтів може бути прямокутною або квадратною але виродженою. З класичної точки зору, системи такого типу розв'язків не мають, проте для них вводять поняття узагальненого псевдорозв'язку.

Сьогодні розглянемо delphi-проект, який використовуючи псевдообернену матрицю, знаходить узагальнений псевдорозв'язок систем, для яких процес відшукання нормального розв'язку являється неактуальним (теоретична частина даного алгоритму міститься за посиланням Знаходження розв'язку систем з прямокутною або виродженою матрицею).

Отже, після запуску програми перед Вами появиться робоче вікно, в якому, на сам перед, необхідно вказа розмірність системи. Для цього, на панелі задач (знаходиться в верхній частині форми) міститься два поля типу TSpinEdit ("Кількість рівнянь" та "Кількість невідомих").

Читати повністю

Знаходження нормального псевдорозв'язку для систем з прямокутною або виродженою матрицею

При розгляді чисельних методів призначених для розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, завжди вважалось, що матриця коефіцієнтів при невідомих системи є квадратною, тобто з однаковою кількістю рядків і стовпців. Якщо, наприклад, кількість рядків (кількість рівнянь в системі) буде менше, ніж кількість стовпців (фактично, кількості невідомих), то система буде невизначеною і всі точні та ітераційні методи рішення лінійних систем, являтимуться неефктивними. Тобто ми не зможемо однозначно визначити всі невідомі.

Але це не єдине обмеження. З векторної алгебри відомо, що система лінійних рівнянь має однозначне рішення тоді і тільки тоді, коли її головний визначник не дорівнює нулю. Що ж робити, коли він (визначник) все-таки дорівнює нулю?

З класичної точки зору, системи такого типу (з прямокутною, або квадратною але виродженою матрицею) розв'язків не мають, але для них вводять поняття узагальненого розв'язку (псевдорозв'язок). Розглянемо дане поняття більш детально.

Читати повністю

Метод ортогоналізації на Delphi. Розв'язок систем лінійних рівнянь методом ортогоналізації засобами Delphi

Програма знаходить розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь викоритовуючи метод ортогоналізації (теоретична частина даного методу містяться за посиланням Рішення СЛАР методом ортогоналізації). Інтерфейс головної форми розглядуваного delphi-проекту не відрізняється від проектів, які реалізують інші чисельні методи признячені для рішення основної проблеми лінійної алгебри, а саме відшукання розв'язку лінійних систем. Тобто після запуску програми, на екраін появиться форма, в якій необхідно вказати розмірність системи, заповнити розширену матрицю коефіцієнтами при невідомих та елементами стовця вільних членів після чого шуканий розв'язок отримують скориставшись кнопкою "Розв'язати систему рівнянь".

Інтерфейс програми, яка використовуючи алгоритм методу ортогоналізації знаходить розв'язок СЛАР

Інтерфейс програми, яка використовуючи алгоритм методу ортогоналізації знаходить розв'язок СЛАР

Читати повністю

Метод ортогоналізації. Знаходження розв'язку СЛАР методом ортогоналізації

Нахай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) Метод ортогоналізації, яку необхідно розв'язати використовуючи алгоритм методу ортогоналізації (заснований на процесі ортогоналізації системи векторів). Для цього, в першу чергу, приєднаємо вектор вільних членів Метод ортогоналізації до матриці коефіцієнтів Метод ортогоналізації, в результаті система (1) набуде наступного вигляду:

Метод ортогоналізації

де Метод ортогоналізації — вектор-рядки (Метод ортогоналізації); Метод ортогоналізації — вектор-стовпець. Далі, систему векторів Метод ортогоналізації доповнимо додатковим вектором Метод ортогоналізації після чого, до отриманої  системи векторів Метод ортогоналізації застосуємо процес ортогоналізації, який складається з побудови ортонормованої системи Метод ортогоналізації і який реалізується за наступними рекурентними формулами:

Читати повністю

Реалізація алгоритму методу відображень (Хуасхолдера) в середовищі програмування Delphi

Delphi-проект призначений для розв'язку основної задачі лінійної алгебри, а саме розв'язку системи лінійних рівняняь (СЛАР) і використовує для цього метод відображення (Хуасхолдера). По своїй структурі метод Хуасхолдера близький до методу Гаусса, але виключення невідомих здійснюються з допомогою матриць відображення, тобто перетворення вихідної матриці до трикутного вигляду виконується з допомогою послідовного множення її на матриці відображення. Перевагою такого підходу є єдина схема обчислювального процесу, яка не залежить від структури матриці (яким чином обчислюються коефіцієнти матриць відображення можна знайти в теоретичній частині по методу Хуасхолдера, яка міститься за посиланням Рішення СЛАР методом Хуасхолдера).

Після запуску проекту, для отримання рішення системи від користувача вимагається ввести розмірність розширеної матриці (матриця остання колонка якої містить елементи стовпця вільних членів вхідної системи), заповнити її відповідними даними після чого натиснути кнопку "Розв'язати систему рівнянь". Результатом роботи програми є вивід у статусному рядку форми значень елементів вектора невідомих.

Читати повністю

Наступна сторінка »