Знаходження всіх дійсних коренів алгебраїчного рівняння шляхом видалення вже знайдених коренів

Один із недоліків методу половинного ділення чи будь-якого з ітераційних методів розв'язку нелінійних алгебраїчних рівнянь є той факт, що процес збігається невідомо до якого кореня. Сьогодні розглянемо один із способів уникнути даної проблеми, який полягає у видалені вже знайденого кореня.

Отже, нехай задано рівняння , для якого на заданому відрізку необхідно знайти всі дійсні корені (відмітимо що функція на даному відрізку є неперервною). Далі припустимо, що є простий корінь рівняння (1), тоді допоміжна функція буде також неперервною на даному інтвалі, причому всі нулі функцій  та співпадають за винятком , тобто . Якщо  кратний корінь рівняння (1), то він буде нулем і для  кратності на одиницю менше. Решта нулів обох функцій як і раніше будуть однакові. Тому знайдений корінь можна видалити, тобто перейти до функції . Тоді знаходження інших нулів  зведеться до знаходження нулів .

Далі, припустимо, що на другому кроці ми знайшли деякий корінь функції . Цей корінь теж мжна видалити, ввівши нову допоміжну функцію . Відзначимо, що таким чином можна послідовно знайти всі корені заданого рівняння (1).

Читати повністю

Квадратне рівняння. Обчислення дискримінанту та коренів квадратного рівняння

Рівняння виду , де  — дійсні числа, причому , називається квадратним рівнянням. Нагадаємо, що називається дискримінантом квадратного тричлена. Якщо , то рівняння (1) має два різних дійсних кореня, які легко обчислюються за наступнимим формулами:

Відмітимо, що знайшовши корені та квадратне рівння (1) можна представити в наступному вигляді: .

Якщо , то рівняння (1) має два кореня, значення яких співпадають, і обчислюються за настуною формулою:

Аналогічно попередньому випадку, знайшовши корені квадратного рівняння дискримінант якого рівний нулю, його можна представити у вигляді .

Читати повністю

Знаходження розв'язку нелінійного рівняння методом половинного ділення

Нехай задано рівняння metod_polovunnoho_dilenja1, яке на відрізку [a; b] має єдиний розв'язок, при чому, функція Метод половинного ділення на даному відрізку є неперервною.

Метод половинного ділення

Метод половинного ділення

Для знаходження шуканого розв'язку розділимо відрізок [a; b] навпіл точкою Метод половинного ділення. Якщо значення функції в даній точці відмінне від нуля (Метод половинного ділення), то можливі два випадки:

  1. Функція Метод половинного ділення змінює знак на відрізку [a; c].
  2. Функція Метод половинного ділення змінює знак на відрізку [c; b].

Вибираючи той відрізок, на якому функція змінює знак і продовжуючи процес половинного ділення дальше, отримаємо як завгодно малий відрізок, який буде містити корінь рівняння metod_polovunnoho_dilenja1.

Читати повністю