Рішення квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта

Розглядаючи означення квадратного рівняння ми також познайомились з універсальним алгоритмом рішення рівнянь такого типу через дискримінант. Проте, в математиці існують і інші спеціальні прийоми, за якими багато квадратних рівнянь розв'язуються дуже швидко і без всяких дискримінантів. Саме розгляду одного з таких прийомів, а саме теоремі Вієта, і буде присвячений даний параграф.

Отже, для початку, введемо нове означення: квадратне рівняння називається зведеним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює одиниці, тобто це рівняння виду . Зрозуміло, що будь-яке рівняняя можна зробити зведеним, для цього достатньо розділити всі його коефіцієнти на число . Зробити це можна завжди, адже, за означенням квадратного рівняння, .

Тепер сформулюємо основну теорему, для якої, власне, і вводилося поняття зведеного квадратного рівняння: нехай для рівняння коренями являються числа  і (допускається і випадок коли ). Тоді, слідуючи з теореми, справедливими являються настуні формули (формули Вієта):

Читати повністю

Знаходження всіх дійсних коренів алгебраїчного рівняння шляхом видалення вже знайдених коренів

Один із недоліків методу половинного ділення чи будь-якого з ітераційних методів розв'язку нелінійних алгебраїчних рівнянь є той факт, що процес збігається невідомо до якого кореня. Сьогодні розглянемо один із способів уникнути даної проблеми, який полягає у видалені вже знайденого кореня.

Отже, нехай задано рівняння , для якого на заданому відрізку необхідно знайти всі дійсні корені (відмітимо що функція на даному відрізку є неперервною). Далі припустимо, що є простий корінь рівняння (1), тоді допоміжна функція буде також неперервною на даному інтвалі, причому всі нулі функцій  та співпадають за винятком , тобто . Якщо  кратний корінь рівняння (1), то він буде нулем і для  кратності на одиницю менше. Решта нулів обох функцій як і раніше будуть однакові. Тому знайдений корінь можна видалити, тобто перейти до функції . Тоді знаходження інших нулів  зведеться до знаходження нулів .

Далі, припустимо, що на другому кроці ми знайшли деякий корінь функції . Цей корінь теж мжна видалити, ввівши нову допоміжну функцію . Відзначимо, що таким чином можна послідовно знайти всі корені заданого рівняння (1).

Читати повністю

Квадратне рівняння. Обчислення дискримінанту та коренів квадратного рівняння

Рівняння виду , де  — дійсні числа, причому , називається квадратним рівнянням. Нагадаємо, що називається дискримінантом квадратного тричлена. Якщо , то рівняння (1) має два різних дійсних кореня, які легко обчислюються за наступнимим формулами:

Відмітимо, що знайшовши корені та квадратне рівння (1) можна представити в наступному вигляді: .

Якщо , то рівняння (1) має два кореня, значення яких співпадають, і обчислюються за настуною формулою:

Аналогічно попередньому випадку, знайшовши корені квадратного рівняння дискримінант якого рівний нулю, його можна представити у вигляді .

Читати повністю

Знаходження розв'язку нелінійного рівняння методом половинного ділення

Нехай задано рівняння metod_polovunnoho_dilenja1, яке на відрізку [a; b] має єдиний розв'язок, при чому, функція Метод половинного ділення на даному відрізку є неперервною.

Метод половинного ділення

Метод половинного ділення

Для знаходження шуканого розв'язку розділимо відрізок [a; b] навпіл точкою Метод половинного ділення. Якщо значення функції в даній точці відмінне від нуля (Метод половинного ділення), то можливі два випадки:

  1. Функція Метод половинного ділення змінює знак на відрізку [a; c].
  2. Функція Метод половинного ділення змінює знак на відрізку [c; b].

Вибираючи той відрізок, на якому функція змінює знак і продовжуючи процес половинного ділення дальше, отримаємо як завгодно малий відрізок, який буде містити корінь рівняння metod_polovunnoho_dilenja1.

Читати повністю

Розв'язок нелінійного рівняння методом дотичних (реалізація в середовищі Delphi)

Метод Ньютона, іменований також методом Ньютона-Рафсона або методом дотичних, являє собою один з найбільш відомих і використовуваних способів рішення нелінійних рівнянь. Основна ідея даного методу полягає в наступному: на першому кроці здається початкове наближення . Далі, в точці , до кривої проводиться дотична, тобто крива замінюється прямою лінією. Після цього, в якості наступного наближення, вибирається точка перетину цієї дотичної з віссю абсцис. Процес побудови дотичних і знаходження точок перетину з віссю абсцис повторюється до тих пір, поки модуль різниці між наступним і попереднім наближенням не стане меншим як завгодно малого наперед заданого числа .

Реалізація методу дотичних засобами Delphi наведена на рисунку що міститься нижче. Як приклад, шукається розв'язок нелінійного рівняння на проміжку , з точністю .

Метод дотичних delphi

Головне вікно delphi-проекту

Виходячи з того, що delphi-програма знаходить розв'язок лише заданої задачі, і алгоритм методу Ньютона, в даному випадку, виконується одноразова, то весь програмний код реалізовано на подію OnCreate() головної форми проекту. Тобто, для щоб знайти шукане рішення, достатньо запустити delphi-програму на виконання.

Читати повністю

Розв'язок нелінійного рівняння методом хорд (реалізація в середовищі Delphi)

Метод хорд (метод січних) — ітераційний чисельний метод, що використовується для знаходження наближеного розв'язку нелінійного рівняння. Основна суть даного методу полягає в тому, що відрізок (область пошуку кореня), за допомогою хорди, розбивається на два відрізки, серед яких, в якості нового, вибирається відрізок від точки перетину хорди з віссю абсцис до нерухомої точки, тобто відрізок на якому функція змінює знак і містить рішення. На цьому відрізку знову-таки здійснюється побудова хорди і здійснюється це до тих пір, поки не буде досягнуто заданої точності рішення.

Нижче, наведено один з можливих варіантів реалізації алгоритму методу хорд на мові програмування Delphi. Крім того, вихідний код програми доступний для скачування. Як приклад, шукається розв'язок нелінійного рівняння на проміжку , з точністю .

Головне вікно delphi-проекту

Виходячи з того, що весь програмний код реалізований на подію OnCreate() головної форми проекту, то для того, щоб знайти шукане рішення, достатньо запустити delphi-програму на виконання. Результатом роботи програми є вивід в комірках таблиці TStringGrid, обчислених на кожній з ітерацій наближень і побудова в компоненті TChar графіка функції на заданому проміжку та послідовності хорд, отриманих для заданого прикладу.

Читати повністю