Знаходження всіх дійсних коренів алгебраїчного рівняння шляхом видалення вже знайдених коренів
Один із недоліків методу половинного ділення чи будь-якого з ітераційних методів розв'язку нелінійних алгебраїчних рівнянь є той факт, що процес збігається невідомо до якого кореня. Сьогодні розглянемо один із способів уникнути даної проблеми, який полягає у видалені вже знайденого кореня.
Отже, нехай задано рівняння , для якого на заданому відрізку
необхідно знайти всі дійсні корені (відмітимо що функція
на даному відрізку є неперервною). Далі припустимо, що
є простий корінь рівняння (1), тоді допоміжна функція
буде також неперервною на даному інтвалі, причому всі нулі функцій
та
співпадають за винятком
, тобто
. Якщо
кратний корінь рівняння (1), то він буде нулем і для
кратності на одиницю менше. Решта нулів обох функцій як і раніше будуть однакові. Тому знайдений корінь можна видалити, тобто перейти до функції
. Тоді знаходження інших нулів
зведеться до знаходження нулів
.
Далі, припустимо, що на другому кроці ми знайшли деякий корінь функції
. Цей корінь теж мжна видалити, ввівши нову допоміжну функцію
. Відзначимо, що таким чином можна послідовно знайти всі корені заданого рівняння (1).