Відстань від точки до прямої на площині
Нехай на площині 
міститься пряма задана своїм рівнянням у загальному вигляді 
і деяка точка 
, що не лежить на даній прямій. Через точку 
проведемо перпендикуляр до заданої прямої і позначимо точку їх перетину через 
. Тоді відстань від точки до прямої 
буде дорівнювати відстані між точками та 
.
Графічне представлення алгоритму знаходження відстані від точки до прямої
Виведемо формулу для обчислення відстані від точки до прямої. Для цього приведемо рівняння заданої прямої до виду рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
Точка перетину двох прямих на площині
Нехай дано дві прямі, задані своїми рівняннями в загальному вигляді 
і 
. Знайдемо точку перетину цих прямих.
Точка перетину двох прямих
Так як ця точка належить кожній з двох даних прямих, то її координати повинні задовольняти як рівняння першої, так і рівняння другої прямої. Таким чином, для того щоб знайти координати точки перетину двох прямих, слід розв'язати систему рівнянь виду:
Рівняння прямої яка проходить через дві задані точки
Нехай задані дві точки 
та 
через які проходить пряма і для якої, використовуючи їх координати, необхідно знайти її рівняння. Для цього припустимо, що 
. Відмітимо, що в такому випадку пряма 
не паралельна осі ординат. А, як нам уже відомо, рівняння будь-якої прямої яка проходить через точку і не паралельна осі 
є рівняння виду:
Так як пряма проходить також і через точку , то координати даної точки повинні задовільняти цьому рівнянню. Підставляючи в рівняння (1), замість поточних координат, координати 
і 
, отримаємо 
. Звідси знаходимо:
Тобто кутовий коефіцієнт прямої дорівнює різниці ординат будь-яких двох її точок, розділеної на різницю абсцис цих точок. Підставивши знайдене значення 
в рівняння (1), отримаємо рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки і :
Рівняння прямої яка проходить через задану точку
Нехай задані точка 
і кутовий коефіцієнт 
, який визначає напрямок прямої лінії, що проходить через цю точку. Поставимо перед собою задачу, використовуючи відомі параметри, знайти рівняння прямої. Для цього, запишемо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
Відмітимо, що в даному рівнянні невідомим являється вільний член 
. Але виходячи з того, що пряма (1) проходить через точку , то координати цієї точки задовільняють рівняння прямої 
. Звідси отримаємо:
Підставляючи знайдене значення в рівняння (1), отримаємо 
, звідки:
Таким чином, ми отримали рівняння прямої, яка проходить через точку в заданому напрямку . Якщо ж розглядається задача, в якій задана тільки точка , то коефіцієнт в рівнянні (3) може приймати будь-які значення, тобто рівняння (3) буде рівнянням будь-якої прямої, що проходить через точку (за винятком прямої 
, паралельної осі 
). Тому рівняння (3) при будь-яких називається рівнянням пучка прямих, що проходять через точку .
Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих
Дві прямі 
і 
паралельні в тому і тільки тому випадку, коли утворюють рівні кути 
і 
з віссю 
. Тоді, 
або 
.
Дві прямі перпендикулярні в тому і тільки тому випадку, коли кут 
між ними дорівнює 
. Тоді, скориставшись формулою 
будемо мати:
Тобто зі сказаного вище випливає, що для того щоб дві прямі були паралельні, необхідно і достатньо, щоб їх кутові коефіцієнти були рівні. А для того щоб дві прямі були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб їх кутові коефіцієнти були оберненими числами, з протилежними знаками.
Рівняння прямої у відрізках
Нехай зададані абсциса 
точки перетину 
прямої з віссю 
і ордината 
точки перетину 
прямої з віссю 
. Іншими словами, зададані відрізки і , які пряма відсікає на координатних осях. При цьому передбачається, що пряма не паралельна жодній з осей системи координат і не проходить через її початок. За даними параметрами і складемо рівняння прямої.
Побудова рівняння прямої у відрізках
Для цього застосуємо рівняння прямої в загальному вигляді 
, в якому жоден з коефіцієнтів 
, 
і 
не дорівнює нулю (інакше побудова рівняння прямої у відрізках стає неможливою). Тоді, загальному рівнянню прямої мають задовільняти обидві точки та з координатами 
і 
відповідно. Підставивши їх координати в загальне рівняння отримаємо:
Загальне рівняння прямої на площині
При розгляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом ми бачили, що воно приймає вигляд 
, якщо пряма не паралельна осі 
, або 
, якщо паралельна осі ординат. Кожне з цих рівнянь є рівняння першої степені щодо поточних координат. Тому твердження про те, що рівняння прямої лінії в декартовій системі координат є рівнянням першої степені можна вважати доведеним.
Сьогодні покажемо, що має місце зворотнє твердження, а саме, будь-яке рівняння першої степені щодо поточних координат є рівняння прямої. Для цього, запишемо рівняння наступного вигляду:
для якого розглянемо два можливих випадки:
- Нехай
. Тоді рівняння (1) рівносильне рівнянню 
. Розглянемо далі пряму, що відсікає на осі відрізок 
і утворює з віссю 
такий кут 
, для якого 
. Для такої прямої рівняння (2) буде рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Це означає, що рівняння (2), а отже, і рівняння (1), є рівнянням прямої. - Нехай тепер
. Тоді рівняння (1) прийме наступного вигляду 
. Відмітимо, що при цьому, 
так як інакше ми мали б не рівняння, а тотожність 
. Тому рівняння (3) рівносильне рівнянню 
. Але це рівняння є рівнянням прямої, паралельної осі ординат і яка проходить через точку 
. Тобто, рівняння (3) є рівносильне рівнянню (4), і його також можна приймати в якості рівняння цієї прямої.
Загрузка ...