Відстань від точки до прямої на площині

Нехай на площині міститься пряма задана своїм рівнянням у загальному вигляді і деяка точка , що не лежить на даній прямій. Через точку  проведемо перпендикуляр до заданої прямої і позначимо точку їх перетину через . Тоді відстань від точки  до прямої буде дорівнювати відстані між точками  та .

Відстань від точки до прямої

Графічне представлення алгоритму знаходження відстані від точки до прямої

Виведемо формулу для обчислення відстані від точки до прямої. Для цього приведемо рівняння заданої прямої до виду рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

Читати повністю

Точка перетину двох прямих на площині

Нехай дано дві прямі, задані своїми рівняннями в загальному вигляді і . Знайдемо точку перетину цих прямих.

Графічне представлення алгоритму знаходження точки перетину двох прямих

Так як ця точка належить кожній з двох даних прямих, то її координати повинні задовольняти як рівняння першої, так і рівняння другої прямої. Таким чином, для того щоб знайти координати точки перетину двох прямих, слід розв'язати систему рівнянь виду:

Читати повністю

Рівняння прямої яка проходить через дві задані точки

Нехай задані дві точки та через які проходить пряма і для якої, використовуючи їх координати, необхідно знайти її рівняння. Для цього припустимо, що . Відмітимо, що в такому випадку пряма не паралельна осі ординат. А, як нам уже відомо, рівняння будь-якої прямої яка проходить через точку і не паралельна осі  є рівняння виду:

Так як пряма проходить також і через точку , то координати даної точки повинні задовільняти цьому рівнянню. Підставляючи в рівняння (1), замість поточних координат, координати і , отримаємо . Звідси знаходимо:

Тобто кутовий коефіцієнт прямої дорівнює різниці ординат будь-яких двох її точок, розділеної на різницю абсцис цих точок. Підставивши знайдене значення в рівняння (1), отримаємо рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки і :

Читати повністю

Рівняння прямої яка походить через задану точку

Нехай задані точка  і кутовий коефіцієнт , який визначає напрямок прямої лінії, що проходить через цю точку. Поставимо перед собою задачу, використовуючи відомі параметри, знайти рівняння прямої. Для цього, запишемо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

Відмітимо, що в даному рівнянні невідомим являється вільний член . Але виходячи з того, що пряма (1) проходить через точку , то координати цієї точки задовільняють рівняння прямої . Звідси отримаємо:

Підставляючи знайдене значення  в рівняння (1), отримаємо , звідки:

Таким чином, ми отримали рівняння прямої, яка проходить через точку  в заданому напрямку . Якщо ж розглядається задача, в якій задана тільки точка , то коефіцієнт  в рівнянні (3) може приймати будь-які значення, тобто рівняння (3) буде рівнянням будь-якої прямої, що проходить через точку  (за винятком прямої , паралельної осі ). Тому рівняння (3) при будь-яких  називається рівнянням пучка прямих, що проходять через точку .

Читати повністю

Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих

Дві прямі і паралельні в тому і тільки тому випадку, коли утворюють рівні кути і з віссю . Тоді, або .

Дві прямі перпендикулярні в тому і тільки тому випадку, коли кут між ними дорівнює . Тоді, скориставшись формулою будемо мати:

Тобто зі сказаного вище випливає, що для того щоб дві прямі були паралельні, необхідно і достатньо, щоб їх кутові коефіцієнти були рівні. А для того щоб дві прямі були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб їх кутові коефіцієнти були оберненими числами, з протилежними знаками.

Читати повністю

Рівняння прямої у відрізках

Нехай зададані абсциса точки перетину прямої з віссю і ордината точки перетину прямої з віссю . Іншими словами, зададані відрізки і , які пряма відсікає на координатних осях. При цьому передбачається, що пряма не паралельна жодної з осей системи координат і не проходить через її початок. За даними параметрами і складемо рівняння прямої.

rivnjannja_prjamoi_u_vidrizkah262

Побудова рівняння прямої у відрізках

Для цього застосуємо рівняння прямої в загальному вигляді , в якому жоден з коефіцієнтів , і не дорівнює нулю (інакше побудова рівняння прямої у відрізках стає неможливою). Тоді, загальному рівнянню прямої мають задовільняти обидві точки та з координатами і відповідно. Підставивши їх координати в загальне рівняння отримаємо:

Читати повністю

Загальне рівняння прямої на площині

При розгляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом ми бачили, що воно приймає вигляд , якщо пряма не паралельна осі , або , якщо паралельна осі ординат. Кожне з цих рівнянь є рівняння першої степені щодо поточних координат. Тому твердження про те, що рівняння прямої лінії в декартовій системі координат є рівнянням першої степені можна вважати доведеним.

Сьогодні покажемо, що має місце зворотнє твердження, а саме, будь-яке рівняння першої степені щодо поточних координат є рівняння прямої. Для цього, запишемо рівняння наступного вигляду:

для якого розглянемо два можливих випадки:

  1. Нехай . Тоді рівняння (1) рівносильне рівнянню . Розглянемо далі пряму, що відсікає на осі відрізок і утворює з віссю такий кут , для якого . Для такої прямої рівняння (2) буде рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Це означає, що рівняння (2), а отже, і рівняння (1), є рівнянням прямої.
  2. Нехай тепер . Тоді рівняння (1) прийме наступного вигляду . Відмітимо, що при цьому, так як інакше ми мали б не рівняння, а тотожність . Тому рівняння (3) рівносильне рівнянню . Але це рівняння є рівнянням прямої, паралельної осі ординат і яка проходить через точку . Тобто, рівняння (3) є рівносильне рівнянню (4), і його також можна приймати в якості рівняння цієї прямої.

Читати повністю

Наступна сторінка »