Псевдообернена матриця. Обертання прямокутних та вироджених матриць

В попередніх параграфах для квадратної невиродженої матриці розглядалася обернена матриця . Якщо ж матриця  прямокутна або квадратна, але вироджена, то вона немає класичної оберненої матриці. Однак в цьому випадку може бути введено поняття узагальненої оберненої матриці , яка має деякі властивості оберненої та використовується при вирішенні деяких систем лінійних алгебраїчних рівнянь. У разі, коли  — квадратна невироджена матриця, узагальнена обернена матриця збігається з оберненою матрицею .

Узагальненою оберненою (псевдооберненою) матрицею для прямокутної матриці  з розмірами називають єдину матрицю, що задовольняє чотирьом умовам:

де означає перехід до сполученої матриці.

Читати повністю

Розв'язок однорідних систем лінійних рівнянь в середовищі програмування delphi

Система, що складається з лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими називається однорідною, якщо значення кожного з елементів стовпця її вільних членів дорівнює нулю. Найважливішою властивістю системи такого типу є те, що вона містить принаймі один розв'язок, тобто завжди сумісна. Дійсно, підставивши замість всіх невідомих нулі, обернено кожне з її рівняннь в тотожність. Таким чином, нульовий розв'язок, є розв'язком будь-якої однорідної системи.

Втім, більш важливим є випадок наявності у однорідної системи відмінних від нуля розв'язків, які, очевидно, будуть існувати тоді, коли матриця її коефіцієнтів є виродженою (визначник дорівнює нулю) або кількість її рівнянь менша за кількості невідомих. Більш детально розглядати інформацію про однорідні системи та процес знаходження їх загального розв'язку (фундаментальної системи рішень) тут не будемо, її можна знайти перейшовши за посиланням Знаходження розв'язку однорідної системи лінійних рівнянь, а перейдемо до розгляду delphi-проекту, який реалізує даний процес.

Отже, головне вікно розглядуваного delphi-проекту практично не відрізняється від проектів, які реалізують інші чисельні методи рішення задач такого типу, лише з однією відмінністю. Виходячи з того, що проект призначений для розв'язку однорідних системи, то вказувати значення стовпця вільних членів у відповідній таблиці TStringGrid не потрібно, вона по замовчуванню заповнюється нулями.

Читати повністю

Знаходження розв'язку однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Розглянемо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

або у векторно-матричній формі , де

Якщо визначник матриці коефіцієнтів  даної системи відмінний від нуля, то в силу формул Крамера система (1) має нульовий розв'язок (), і причому єдиний.

Якщо ж , то в цьому випадку система (1) має безліч розв'язків, в тому числі і ненульові. З (2) випливає, що якщо  — являється розв'язком системи (2) то , де  — довільна стала, також є розв'язком цієї системи; якщо і  — розв'язок системи (2), то сума  і  — також є розв'язком цієї системи.

Читати повністю

Знаходження рангу матриці в середовищі програмування Delphi

Розглядуваний delphi-проект призначений для знаходження рангу матриці за методом обвідних мінорів та методом елементарних перетворень (теоретична частина по даних методах міститься за посиланням Ранг матриці та способи його обчислення). Після запуску програми на екрані комп’ютера появиться вікно, яке складається з насутпних елементів:

  1. Панелі інструментів (містить область зміни розмірності матриці; область вибору методу; кнопки «Знайти ранг матриці» та «Очистити матрицю»).
  2. Робочої області (містить компонент для відображення даних в табличній формі).
  3. Статусного рядка (призначений для виводу результатів роботи програми).

rank_matrix_delphi1

Інтерфейс delphi-проекту "Знаходження рангу матриці за методом обвідних мінорів та методу елементарних перетворень"

Для знаходження рангу матриці з допомогою даного delphi-проекту, необхідно виконати наступні дії: задати розмірність матриці, вибрати метод для розв'язку, заповнити таблицю даними та скористатись кнопкою «Знайти ранг матриці».

Читати повністю

Ранг матриці. Обчислення рангу матриці за методом обвідних мінорів та методу елементарних перетворень

Розглянемо матрицю Ранг матриці розмірності Ранг матриці. В даній матриці виділимо будь-яких Ранг матриці рядкуів і таку саму кількість стовпців. Відмітимо, що число Ранг матриці не повинно перевищувати загальну кількість рядків та стовпців заданої матриці, тобто Ранг матриці. Визначник, який утворится з елементів, що стоять на перетині виділених Ранг матриці рядків та стовпців називається мінором Ранг матриці-го порядку матриці Ранг матриці. Найбільший з порядків відмінних від нуля мінорів називається рангом матриці Ранг матриці. З даного означення випливають наступні властивості рангу:

  1. Ранг прямокутної матриці Ранг матриці розмірності Ранг матриці не перевищує меншого із двох чисел і Ранг матриці, тобто Ранг матриці.
  2. Ранг матриці Ранг матриці дорівнює нулю (Ранг матриці) тоді і тільки тоді, коли матриця нульова. В інших випадках ранг матриці рівний деякому додатному числу.
  3. Для квадратної матриці Ранг матриці-го порядку ранг дорівнює Ранг матриці тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена, тобто коли її визначник відмінний від нуля.

Серед методів визначення рангу матриці виділяють два: метод обвідних мінорів і, такзваний, метод елементарних перетворень. Розглянемо спочатку алгоритм першого з них.

Отже, на першому кроці, знаходимо будь-який, відмінній від нуля, мінор першого порядку (). Якщо такого мінора немає, то матриця являється нульовою і, як зазначалося вище, ранг такої матриці рівний нулю. Якщо ж серед мінорів першого порядку існує хоча б один відмінний від нуля, то переходимо до дослідження мінорів другого порядку, які містять в собі rang_matrici10 (обводять rang_matrici10) і робимо це до тих пір, поки не знайдем мінор rang_matrici111 відмінний від нуля. Якщо такого мінора немає, то rang_matrici12. В іншому випадку, досліджуємо мінори третього, четвертого і так далі порядків і таким чином переходимо до обчислення, якщо вони існують, мінорів rang_matrici14-го порядку, які обводять мінор rang_matrici15. Якщо таких мінорів немає, або вони всі дорівнюють нулю, то Ранг матриці. Якщо ж хоча б один мінор rang_matrici16, то rang_matrici17, тобто ітераційний процес методу обвідних мінорів необхідно продовжувати далі.

Читати повністю