Площа круга та кругового сектора

Нагадаємо, що кругом називається частина площини, обмежена колом. Тобто круг радіуса з центром містить точку  і всі точки площини, що знаходяться від даної точки на відстані, що не більша за .

Знаходження площі круга з допомогою багатокутників

Виведемо формулу, яка дозволить знайти площу круга радіус якого дорівнює . Для цього розглянемо правильний -кутник , вписаний в коло, що обмежує круг. Очевидно, площа даного кола більша площі багатокутника , так як він цілком міститься в даному колі. З іншого боку, площа кола, вписаного в багатокутник, менша , так як це коло цілком міститься в даному багатокутнику. Отже:

Будемо тепер необмежено збільшувати число сторін -кутника. Зазначимо, що в такому випадку збільшуватиметься і радіус  вписаного в багатокутник кола і при , величина буде як завгодно мало відрізнятися від , а отже, наближатиметься до одиниці, тому . Іншими словами, при необмеженому збільшенні числа сторін багатокутника, вписане в нього коло збігатиметься до описаного кола, тому при . Звідси і з нерівності (1) випливає, що при .

Читати повністю

Довжина кола і дуги кола

У своєму повсякденному житті ми часто стикаємося з завданнями, які пов'язані з обчисленням периметра, тобто суми довжин сторін різних геометричних фігур. У разі, якщо геометрична фігура — багатокутник, знаходження його периметра не складає особливих труднощів: для цього достатньо визначити довжину кожної зі сторін і скласти отримані результати. Що ж робити, якщо необхідно знайти довжину кола? Відповіді на це питання і присвячений даний параграф.

Отже, як відомо, периметр будь-якого правильного вписаного в коло багатокутника є наближеним значенням довжини цього кола. Чим більше число сторін такого багатокутника, тим точніше це наближене значення, так як багатокутник при збільшенні числа сторін все ближче і ближче прилягає до кола. Точне значення довжини кола — це границя, до якої збігається периметр правильного вписаного в коло багатокутника при необмеженому збільшенні числа його сторін.

Довжина кола

Знаходження довжини кола з допомогою багатокутників

Скориставшись даним фактом, виведемо формулу, яка дозволить знайти довжину кола через його радіус. Для цього, розглянемо два кола радіус яких дорівнює  та  відповідно. Впишемо в кожне з них правильний -кутник і позначимо через і їх периметри, а через і їх сторони. Тоді, використовуючи формулу для знаходження сторони правильного багатокутника (), отримаємо:

Читати повністю