Кут між двома прямими на площині

Однією із стандартних задач аналітичної геометрії є процес знаходження кута між двома прямими. Сьогодні покажемо, яким чином можна обчислити даний кут, знаючи кутові коефіцієнти прямих (при цьому припускається, що жодна з прямих не перпендикулярна до осі ).

Отже, розглянемо дві прямі та , які перетинаються в деякій точці  і через  позначимо кут, на який необхідно повернути пряму (1) навколо точки  в напрямку, протилежному обертанню годинникової стрілки, для того, щоб вона співпала з прямою (2).  Відмітимо, що говорячи про кут між двома прямими ми і будемо мати на увазі кут , і саме формулу для його обчислення нам необхідно знайти.

kut_mizh_dvoma_prjamymy18

Графічне представлення алгоритму знаходження кута між двома прямими

Для реалізації задуманого, позначимо кут, що утворює пряма (1) з віссю через , а пряма (2) - через . Так як кут  дорівнює куту повороту осі  до першого співпадіння з прямою (1), а кут  дорівнює куту повороту (1) до першого співпадіння з прямою (2), то . Звідси і

Читати повністю

Рівняння прямої у відрізках

Нехай зададані абсциса точки перетину прямої з віссю і ордината точки перетину прямої з віссю . Іншими словами, зададані відрізки і , які пряма відсікає на координатних осях. При цьому передбачається, що пряма не паралельна жодної з осей системи координат і не проходить через її початок. За даними параметрами і складемо рівняння прямої.

rivnjannja_prjamoi_u_vidrizkah262

Побудова рівняння прямої у відрізках

Для цього застосуємо рівняння прямої в загальному вигляді , в якому жоден з коефіцієнтів , і не дорівнює нулю (інакше побудова рівняння прямої у відрізках стає неможливою). Тоді, загальному рівнянню прямої мають задовільняти обидві точки та з координатами і відповідно. Підставивши їх координати в загальне рівняння отримаємо:

Читати повністю

Загальне рівняння прямої на площині

При розгляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом ми бачили, що воно приймає вигляд , якщо пряма не паралельна осі , або , якщо паралельна осі ординат. Кожне з цих рівнянь є рівняння першої степені щодо поточних координат. Тому твердження про те, що рівняння прямої лінії в декартовій системі координат є рівнянням першої степені можна вважати доведеним.

Сьогодні покажемо, що має місце зворотнє твердження, а саме, будь-яке рівняння першої степені щодо поточних координат є рівняння прямої. Для цього, запишемо рівняння наступного вигляду:

для якого розглянемо два можливих випадки:

  1. Нехай . Тоді рівняння (1) рівносильне рівнянню . Розглянемо далі пряму, що відсікає на осі відрізок і утворює з віссю такий кут , для якого . Для такої прямої рівняння (2) буде рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Це означає, що рівняння (2), а отже, і рівняння (1), є рівнянням прямої.
  2. Нехай тепер . Тоді рівняння (1) прийме наступного вигляду . Відмітимо, що при цьому, так як інакше ми мали б не рівняння, а тотожність . Тому рівняння (3) рівносильне рівнянню . Але це рівняння є рівнянням прямої, паралельної осі ординат і яка проходить через точку . Тобто, рівняння (3) є рівносильне рівнянню (4), і його також можна приймати в якості рівняння цієї прямої.

Читати повністю

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

В курсі аналітична геометрія існує декілька типів рівнянь прямої на площині. В залежності від умови задачі, для зручності її розв'язку, використовують той чи іншим тип. Сьогодні розглянемо перший з них, а саме рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Отже, нехай дано кут , який утворює пряма  з віссю , і ордината точки перетину прямої з віссю (цю ординату також називають відрізком, який пряма відсікає на осі ). Відмітимо, що заданими величинами (параметрами) пряма цілком визначена. Знайдемо рівняння цієї прямої.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Графічне представлення алгоритму знаходження рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Для цього, візьмемо довільну точку на прямій (праворуч від точки ) та проведемо два відрізка  і  паралельно координатним осям  та  відповідно. В результаті виконання даного кроку ми отримали прямокутник , який, як видно з побудови, являється прямокутним. А виходячи з того, що у прямокутному трикутнику тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого, будемо мати:

Читати повністю

« Попередня сторінка