Загальне рівняння прямої на площині

При розгляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом ми бачили, що воно приймає вигляд , якщо пряма не паралельна осі , або , якщо паралельна осі ординат. Кожне з цих рівнянь є рівняння першої степені щодо поточних координат. Тому твердження про те, що рівняння прямої лінії в декартовій системі координат є рівнянням першої степені можна вважати доведеним.

Сьогодні покажемо, що має місце зворотнє твердження, а саме, будь-яке рівняння першої степені щодо поточних координат є рівняння прямої. Для цього, запишемо рівняння наступного вигляду:

для якого розглянемо два можливих випадки:

  1. Нехай . Тоді рівняння (1) рівносильне рівнянню . Розглянемо далі пряму, що відсікає на осі відрізок і утворює з віссю такий кут , для якого . Для такої прямої рівняння (2) буде рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Це означає, що рівняння (2), а отже, і рівняння (1), є рівнянням прямої.
  2. Нехай тепер . Тоді рівняння (1) прийме наступного вигляду . Відмітимо, що при цьому, так як інакше ми мали б не рівняння, а тотожність . Тому рівняння (3) рівносильне рівнянню . Але це рівняння є рівнянням прямої, паралельної осі ординат і яка проходить через точку . Тобто, рівняння (3) є рівносильне рівнянню (4), і його також можна приймати в якості рівняння цієї прямої.

Читати повністю