Похідна параметрично заданої функції
Припустимо, що функція 
задана в параметричному вигляді за допомогою двох рівнянь наступного вигляду:
де 
допоміжна змінна, яку називають параметром. Запишемо флормулу для знаходження похідної заданої таким чином функції.
Отже, припустимо, що функції 
і 
в деякій області зміни параметра мають похідні, причому 
. Крім того, будемо вважати, що функція має обернену функцію 
.
Зазначимо, що в такому випадку, задану параметричним рівнянням (1), функцію можна розглядати як складну функцію: 
, де — проміжний аргумент. І тоді, за правилом диференціювання складної функції, маємо:
Оскільки, по теоремі про похідну оберненої функції виконується 
(похідна функції, оберненої до даної дорівнює величині, оберненій до похідної даної функції, якщо остання не дорівнює нулю), то формулу (2) можна переписати в дещо іншому вигляді: 
.
Похідна неявно заданої функції
Якщо функція 
визначена співвідношенням 
то 
називають неявною функцією від 
.
Інколи рівняння (1) можна розв'язати відносно , тобто можливий перехід від неявного способу визначення функції до явного , але частіше розв'язання рівняння (1) відносно неможливе. Слід також відзначити, що терміни «явна функція» і «неявна функція» характеризують не природу функції, а аналітичний спосіб її задання.
Для того, щоб знайти похідну неявно заданої функції, потрібно:
- Продиференціювати по обидві частини рівності (1), при цьому розглядається як незалежна змінна, а є функцією від , тобто
, а 
— це шукана похідна. - Розв'язати отримане рівняння відносно .
Похідна неявно заданої функції — приклади розв'язання:
Приклад 1: знайти похідну від функції 
, заданої неявно.
Отже, продиференціюємо обидві частини рівняння по , враховуючи при цьому, що є функцією від : 
. Розв'язуючи отримане рівняння відносно , отримаємо:
Диференціювання складної функції
Нехай дана функція 
і при цьому 
. Тоді вихідну функцію можна представити у вигляді 
. Зазначимо, що функції такого типу називаються складними, а змінна 
— проміжним аргументом.
Встановимо правило диференціювання складних функцій. Отже, якщо функції 
і 
— диференційовані, то складна функція є також диференційованою, причому:
Це правило поширюється на ланцюжок із будь-якого скінченного числа диференційованих функцій: похідна складної функції дорівнює добутку похідних функцій, які її утворюють.
Похідна складної функції — приклади розв'язання:
Приклад 1: знайти похідну функції 
.
Отже, маємо cкладну степеневу функцію з проміжним аргументом 
. Тому функцію можна подати у вигляді 
, де . Тоді, за формулою (1) маємо:
Правила диференціювання функцій і таблиця похідних
Знаходження похідних за означенням не проста задача. Тому для відшукання похідних від функцій, які утворені з декількох елементарних функцій використовують правила диференціювання, що формулюється наступним чином:
- Похідна постійної величини
дорівнює нулю: 
. - Якщо кожна з функцій
, 
, 
диференційовна в деякій точці 
, то диференційовною в цій точці є їх алгебраїчна сума, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних: 
. - Якщо функції і диференційовні в точці , то їх добуток диференційовний в цій точці і має місце формула:
.
Зауваження: якщо функція
, то 
, тобто постійна величина виноситься за знак похідної. - Якщо функції , диференційовні в точці , причому
, то їх частка також має похідну в цій точці, яка обчислюється за формулою: 
.
Зауваження: якщо чисельник дробу постійна величина (функція
), то 
; якщо знаменник дробу — постійна величина (функція 
), то 
.
Зазначимо, що на підставі означення похідної та розглянутих вище правил диференціювання складається таблиця похідних основних елементарних функцій:
Загрузка ...