Мітки: правила диференціювання

Похідна параметрично заданої функції

Припустимо, що функція задана в параметричному вигляді за допомогою двох рівнянь наступного вигляду:

де допоміжна змінна, яку називають параметром. Запишемо флормулу для знаходження похідної заданої таким чином функції.

Отже, припустимо, що функції і в деякій області зміни параметра мають похідні, причому . Крім того, будемо вважати, що функція має обернену функцію .

Зазначимо, що в такому випадку, задану параметричним рівнянням (1), функцію можна розглядати як складну функцію: , де – проміжний аргумент. І тоді, за правилом диференціювання складної функції, маємо:

Оскільки, по теоремі про похідну оберненої функції виконується (похідна функції, оберненої до даної дорівнює величині, оберненій до похідної даної функції, якщо остання не дорівнює нулю), то формулу (2) можна переписати в дещо іншому вигляді: .

Похідна неявно заданої функції

Якщо функція визначена співвідношенням то називають неявною функцією від .

Інколи рівняння (1) можна розв’язати відносно , тобто можливий перехід від неявного способу визначення функції до явного , але частіше розв’язання рівняння (1) відносно неможливе. Слід також відзначити, що терміни «явна функція» і «неявна функція» характеризують не природу функції, а аналітичний спосіб її задання.

Для того, щоб знайти похідну неявно заданої функції, потрібно:

Продиференціювати по обидві частини рівності (1), при цьому розглядається як незалежна змінна, а є функцією від , тобто , а — це шукана похідна.
Розв’язати отримане рівняння відносно .

Похідна неявно заданої функції – приклади розв’язання:

Приклад 1: знайти похідну від функції , заданої неявно.

Отже, продиференціюємо обидві частини рівняння по , враховуючи при цьому, що є функцією від : . Розв’язуючи отримане рівняння відносно , отримаємо:

Диференціювання складної функції

Нехай дана функція і при цьому . Тоді вихідну функцію можна представити у вигляді . Зазначимо, що функції такого типу називаються складними, а змінна – проміжним аргументом.

Встановимо правило диференціювання складних функцій. Отже, якщо функції і – диференційовані, то складна функція є також диференційованою, причому:

Це правило поширюється на ланцюжок із будь-якого скінченного числа диференційованих функцій: похідна складної функції дорівнює добутку похідних функцій, які її утворюють.

Похідна складної функції – приклади розв’язання:

Приклад 1: знайти похідну функції .

Отже, маємо cкладну степеневу функцію з проміжним аргументом . Тому функцію можна подати у вигляді , де . Тоді, за формулою (1) маємо:

Правила диференціювання функцій і таблиця похідних

Знаходження похідних за означенням не проста задача. Тому для відшукання похідних від функцій, які утворені з декількох елементарних функцій використовують правила диференціювання, що формулюється наступним чином:

Похідна постійної величини дорівнює нулю: .
Якщо кожна з функцій , , диференційовна в деякій точці , то диференційовною в цій точці є їх алгебраїчна сума, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних: .
Якщо функції і диференційовні в точці , то їх добуток диференційовний в цій точці і має місце формула: .
Зауваження: якщо функція , то , тобто постійна величина виноситься за знак похідної.
Якщо функції , диференційовні в точці , причому , то їх частка також має похідну в цій точці, яка обчислюється за формулою: .
Зауваження: якщо чисельник дробу постійна величина (функція ), то ; якщо знаменник дробу – постійна величина (функція ), то .

Зазначимо, що на підставі означення похідної та розглянутих вище правил диференціювання складається таблиця похідних основних елементарних функцій: