Знаходження наближеного значення таблично заданої функції використовуючи кубічну сплайн-інтерполяцію

Використання однієї інтерполяційної формули для великого числа вузлів, як у випадку інтерполяційних формул Ньютона чи Лагранжа являється недоцільним. Такий інтерполяційний многочлен сильно проявляє свої коливальні властивості, і його значення між вузлами можуть сильно відрізнятися від значень інтерпольованої функції. Однією з можливостей обійти такий недолік є застосування сплайн-інтерполяції. Ідея сплайн-інтерполяції полягає в побудові поліномів між парами сусідніх вузлів інтерполяції, причому для кожної пари вузлів будується свій поліном. Найпоширеніший у практиці є кубічний сплайн, для побудови якого необхідно побудувати n многочленів третьої степені:

Сплайн-інтерполяція

Для визначення невідомих Сплайн-інтерполяція многочлена (1) необхідно 4n рівняннь. Частина з них, а саме 2n, може бути отримана з умови проходження сплайна через вузли інтерполяції Сплайн інтерполяція:

Сплайн-інтерполяція

де Сплайн-інтерполяція. Науступні (2n-2) рівняння знайдемо з умови неперервності перших і других похідних у вузлах інтерполяції, тобто з умови гладкості кривої в усіх точках. Для цього знайдемо першу і другу похідну тричлена (1):

Читати повністю

Пргорамна реалізація алгоритму квадратичної інтерполяції в середовищі програмування Delphi

Пргорамна реалізація алгоритму квадратичної інтерполяції вимагає вирішення додаткової задачі, яка полягає у знаходженні рішень системи лінійних алгебраїчних рівнянь, розв'язком якої є коефіцієнти інтерполяційного многочлена. В розглядуваному delphi-проекті для цього використовується метод Крамера, який вважається найбільш зручним у реалізації (вимагає обчислення визначника основної матриці системи та додаткових визначників, одержуваних з основної матриці шляхом послідовної заміни її стовпців стовпцем вільних членів). Після знаходження невідомих коефіцієнтів многочлена програма будує графік функції, який ілюструє результат інтерполяції. Також відмітимо, що в проекті передбачино можливість знаходження наближеного значення функції в точці, відміннійн від заданих.

Отже, розглянемо деякий список вузлів інтерполяції і значень функції в них та спробуємо з допомогою даного delphi-проекту побудувати для них графік інтерполяційної функції. Для цього необхідно, в першу чергу, запустити проект на виконання, вказати необхідну розмірність таблиці і заповнити її інтерполяційними даними після чого натиснути кнопку «Інтерполювати».

Читати повністю

Обчислення проміжних значень таблично заданих функцій використовуючи квадратичну інтерполяцію

Кусково-квадратична інтерполяція, на відміну від кусково-лінійної, зводиться до формування для кожного відрізка Квадратична інтерполяція квадратичного тричленаКвадратична інтерполяція, який передбачає з'єднання кожної трійки сусідніх точок відрізком квадратичної параболи.

Квадратична інтерполяція

Кусково-квадратична інтерполяція

Шукати невідомі коефіцієнтів Квадратична інтерполяція тричлена (1) будемо виходячи з умови збігу значень шуканої квадратичної функції з табличними значеннями в трьох заданих точках. Для цього складемо наступну систему рівнянь (визначник системи (2) відмінний від нуля в тому випадку, коли точки Квадратична інтерполяція не лежать на одній прямій):

Читати повністю

Наближення таблично заданої функції з допомогою лінійної інтерполяції

При великій кількості вузлів інтерполяції сильно зростає степінь інтерполяціонних многочленів, що робить їх незручними для обчислень. Уникнути даної проблеми можна розбивши відрізок інтерполяції на кілька частин з побудовою на кожній з них окремого интерполяционного многочлена.

Найпростішим і водночас часто використовуваним видом такого роду інтерполяції, є кусочно-лінійна інтерполяція. Вона полягає в тому, що задані точки Лінійна інтерполяція з'єднуються прямолінійними відрізками, а функція Лінійна інтерполяція наближається до ламаної з вершинами в даних точках.

Лінійна інтерполяція

Лінійна інтерполяція

Читати повністю

Рівномірне наближення функцій методом найменших квадратів

Нехай в результеті деякого експеременту (наукового чи інженерного) отримано систему точок Апроксимація функції методо найменших квадратів. Необхідно знайти наближену функцію (емпіричну формулу) Апроксимація функції методом найменших квадратів, значення якої при Апроксимація функції методом найменших квадратів мало відрізняються від заданих експерементальних даних Апроксимація функції методом найменших квадратів. Для знаходження такої функції скористаємось методом найменших квадратів.

Будемо вважати, що емпірична формула являє собою многочлен степені m (де m<n):

Апроксимація функції методом найменших квадратів

деАпроксимація функції методом найменших квадратів — невідомі параметри. Задача полягає в тому, щоб визначити такі значення цих параметрів, при яких емпірична формула дає достатньо добре наближення до таблично заданої функції. Для того, слідуючи методу найменших квадратів, запишемо суму квадратів відхилень для всіх точок Апроксимація функції методом найменших квадратів.

Читати повністю

Інтерполяція функцій методом Лагранжа для нерівновіддалених вузлів на Delphi

Програма виконує інтерполяцію функції за методом ЛагранжаІнтерфейс програми простий та зрозумілий у використанні. Ліва частина форми містить поле «Розмір таблиці», яке відповідає за число заданих вузлів інтерполяції досліджуваної функції (способом введення з клавіатури записуються у таблицю) і степінь інтерполяційного многочлена. Також ліва частина форми містить три кнопкт та одне поле вводу:

  1. "Побудувати графік функції" — будує графік функції та відображає на ньому вузли інтерполяції.
  2. "Очистити" — видаляє з таблиці дані та побудований графік функції.
  3. "Обчислити значення функції" — обчислює значення функції в точці, яка задається в полі вводу «Задати точку», а також відображає її на графіку.

Праву частину форми займає компонент, на якому відображаються вузли інтерполяції та графік досліджуваної функції.

Інтерполяційна формула Лагранжа на Delphi

Головне вікно програми яка виконує інтерполяцію функції за методом Лагранжа

Читати повністю

« Попередня сторінка