Відшукання всіх власних значень симетричної матриці методом обертань в середовищі delphi

Delphi-проект призначиний для відшукання всіх власних значень симетричної матриці. Основна ідея даного методу складається з послідовності ортогональних перетворень подібності матриці. Кожне перетворення — це плоский поворот з метою обнулення одного з недіагональних елементів матриці. Послідовні перетворення не зберігають вже встановлені на попередніх кроках нульові елементи, проте разом з тим позадіагональні елементи стають меншими і меншими до тих пір, поки матриця не стане діагональною або близькою до неї з заданою точністю.

Після того, як задану точність було досягнуто, діагональні елементи отриманої матриці будуть приблизно рівними шуканим власним значенням.

Більш детальну інформацію про знаходження власних значень матриці методом обертань можна знайти за посиланням Розв'язок повної проблеми власних значень методом обертань.

Читати повністю

Знаходження власних значень матриці використовуючи метод обертань

Метод обертань — поширений ітераційний метод розв'язування повної алгебраїчної проблеми власних значень і дозволяє, для симетричних матриць (нагадаємо, що матриця називається симетричною тоді і тільки тоді, коли Умова симетричності матриць), вирішити задачу знаходження всіх власних значень та відповідних їм власних векторів без використання характеристичних рівнянь.

Основна ідея методу обертань полягає в перетворенні початкової матриці Матриця А так, щоб зберігаючи спектр власних значень отримати діагональну матрицю Власні значення матриці або близьку до неї. Перетворення з такими властивостями відоме як перетворення подібності Власні значення матриці, де Власні значення матриці — невироджена матриця. Якщо додатково вимагатимемо ортогональності матриці Власні значення матриці, то, крім бажаного збереження спектра власних значень при перетворенні подібності необхідною умовою є ще й симетрія матриці перетворення. Знайти безпосередньо таку матрицю Власні значення матриці, як правило, невдається, тому один із шляхів побудови перетворення подібності — ітераційний. Тобто, на кожному Власні значення матриці-му кроці методу обертань здійснюється перетворенням подібності, де використовується ортогональна матриця обертань Власні значення матриці. Ця матриця залежить від трьох параметрів Власні значення матриці і відрізняється від одиничної лише чотирма елементами Власні значення матриці із координатами Власні значення матриці відповідно.

Читати повністю

Знаходження власних значень матриці за методом Данилевського

Суть методу Данилевського полягає у приведенні характеристичного визначника матриці до такзваної нормальної форми Фробеніуса:

Метод Данилевського

і розклад його, в подальшому, по елементах першого рядка. В результаті отримаємо характеристичний многочлен степені Метод Данилевського, коефіцієнтами при невідомих якого є елементи першого рядка матриці Фробеніуса:

Метод Данилевського

Очевидно, що рівняння (2) має Метод Данилевського коренів Метод Данилевського, які можна знайти використовуючи будь-який з методів призначених для знаходження розв'язку нелінійного рівняння  (метод хордметод дотичнихметод простої ітерації та інші).

Читати повністю