Відшукання всіх власних значень симетричної матриці методом обертань в середовищі delphi

Delphi-проект призначиний для відшукання всіх власних значень симетричної матриці. Основна ідея даного методу складається з послідовності ортогональних перетворень подібності матриці. Кожне перетворення — це плоский поворот з метою обнулення одного з недіагональних елементів матриці. Послідовні перетворення не зберігають вже встановлені на попередніх кроках нульові елементи, проте разом з тим позадіагональні елементи стають меншими і меншими до тих пір, поки матриця не стане діагональною або близькою до неї з заданою точністю.

Після того, як задану точність було досягнуто, діагональні елементи отриманої матриці будуть приблизно рівними шуканим власним значенням.

Більш детальну інформацію про знаходження власних значень матриці методом обертань можна знайти за посиланням Розв'язок повної проблеми власних значень методом обертань.

Читати повністю

Знаходження власних значень матриці використовуючи метод обертань

Метод обертань — поширений ітераційний метод розв'язування повної алгебраїчної проблеми власних значень і дозволяє, для симетричних матриць (нагадаємо, що матриця називається симетричною тоді і тільки тоді, коли Умова симетричності матриць), вирішити задачу знаходження всіх власних значень та відповідних їм власних векторів без використання характеристичних рівнянь.

Основна ідея методу обертань полягає в перетворенні початкової матриці Матриця А так, щоб зберігаючи спектр власних значень отримати діагональну матрицю Власні значення матриці або близьку до неї. Перетворення з такими властивостями відоме як перетворення подібності Власні значення матриці, де Власні значення матриці — невироджена матриця. Якщо додатково вимагатимемо ортогональності матриці Власні значення матриці, то, крім бажаного збереження спектра власних значень при перетворенні подібності необхідною умовою є ще й симетрія матриці перетворення. Знайти безпосередньо таку матрицю Власні значення матриці, як правило, невдається, тому один із шляхів побудови перетворення подібності — ітераційний. Тобто, на кожному Власні значення матриці-му кроці методу обертань здійснюється перетворенням подібності, де використовується ортогональна матриця обертань Власні значення матриці. Ця матриця залежить від трьох параметрів Власні значення матриці і відрізняється від одиничної лише чотирма елементами Власні значення матриці із координатами Власні значення матриці відповідно.

Читати повністю

Реалізація алгоритму методу відображень (Хуасхолдера) в середовищі програмування Delphi

Delphi-проект призначений для розв'язку основної задачі лінійної алгебри, а саме розв'язку системи лінійних рівняняь (СЛАР) і використовує для цього метод відображення (Хуасхолдера). По своїй структурі метод Хуасхолдера близький до методу Гаусса, але виключення невідомих здійснюються з допомогою матриць відображення, тобто перетворення вихідної матриці до трикутного вигляду виконується з допомогою послідовного множення її на матриці відображення. Перевагою такого підходу є єдина схема обчислювального процесу, яка не залежить від структури матриці (яким чином обчислюються коефіцієнти матриць відображення можна знайти в теоретичній частині по методу Хуасхолдера, яка міститься за посиланням Рішення СЛАР методом Хуасхолдера).

Після запуску проекту, для отримання рішення системи від користувача вимагається ввести розмірність розширеної матриці (матриця остання колонка якої містить елементи стовпця вільних членів вхідної системи), заповнити її відповідними даними після чого натиснути кнопку "Розв'язати систему рівнянь". Результатом роботи програми є вивід у статусному рядку форми значень елементів вектора невідомих.

Читати повністю

Метод відображень. Розв'язок систем лінійних рівнянь методом відображень

Алгоритм методу відображень (Хуасхолдера) при знаходженні розв'язку системи лінійних рівнянь Метод відображення складається з Метод відображення-го кроку (де Метод відображення — розмірність матриці), після виконання яких матриця Метод відображення системи (1) приводиться до верхньої трикутної формі. Наступним етам алгоритму є відшукання значень вектора невідомих, які отримують аналогічно, як і у методі Гаусса, тобто спочатку знаходимо значення останньої компоненти вектора невідомих, потім передостанньої і так далі.

Розглянемо даний алгоритм більш детально. Нехай в результаті виконання Метод відображення-го кроку матриця коефіцієнтів Метод відображення і вектор вільних членів Метод відображення системи (1) набули наступного виду:

Метод відображення

Читати повністю

Розв'язок СЛАР методом обертання засобами Delphi

Розглянемо програмну реалізацію, ще одного методу, який для розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівняняь (СЛАР) використовує ідею зведення матриці коефіцієнтів до трикутного вигляду. Як і в методі Гаусса, алгоритм методу обертання складається з прямого і оберненого ходу. Основна мета прямого ходу — приведення системи до трикутного вигляду послідовним обнуленням елементів, які розташовані нижче головної діагоналі. Знаходження невідомих не відрізняється від оберненого ходу методу Гаусса. Більш детально алгоритм методу обертання розглядати не будемо. Його можна знайти за посиланням Розв'язок СЛАР методом обертання. Ми ж приступимо до розгляду delphi-проекту, який реалізує даний алгоритм.

Після запуску проекту на виконання на екрані появиться вікно наступного виду:

Читати повністю

Розв'язок системи лінійних рівнянь використовуючи метод обертань

Метод Гаусса являється не єдиним методом який для розв'язку системи лінійних рівнянь використовує ідею зведення матриці коефіцієнтів до трикутного вигляду. Існує ще два методи, які можна віднести до категорії методів виключення невідомих, а саме метод обертань та метод відображень. Обидва цих методи базуються на представленні матриці qr_rozklad_matruci51 у вигляді добутку ортогональної матриці qr_rozklad_matruci52 та верхньої трикутної матриці qr_rozklad_matruci45. Нагадаємо, що матриця qr_rozklad_matruci52 називається ортогональною, якщо для неї виконується наступна умова: QR розклад матриці або qr_rozklad_matruci2.

Розглянемо спочатку метод обертань з допомогою якого будемо відшукувати розв'язок системи лінійних рівнянь наступного виду:

qr_rozklad_matruci3

Даний метод, як і метод Гаусса, складається з прямого і оберненого ходу.

Читати повністю