Алгоритм Форда-Беллмана (реалізація в середовищі Delphi)

У математиці та інформатиці існує окремий розділ, який називається теорія графів. Основним предметом вивчення даного розділу є математичний об'єкт, який називається графом (об'єкт, який представляє собою множину вершин і набір ребер, які виступають в якості з'єднань між парами вершин). В рамках даного розділу ставляться і вирішуються різні задачі пов'язані з цим об'єктом. Найпоширенішшою серед них є задача про знаходження найкоротшого шляху між будь-якими двома вершинами графа. Зазначимо, що одним з найбільш використовуваних методів рішення задач такого типу являється метод Дейкстри.

Проте, виходячи з того, що delphi-проект який реалізує алгоритм методу Дейкстри нами вже неодноразово в розділі Програми на Delphi (Дослідження операцій) було розглянуто, сьогодні зосередимо свою увагу на delphi-проекті, що реалізує дещо інший алгоритм рішення задач такого типу, а саме алгоритм Беллмана-Форда.

Головне вікно проекту "Знаходження дерева мінімальної вартості за алгоритмом Беллмана-Форда"

Отже, головна форма розглядуваного проекту складається з панелі інструментів (містить кнопки «Додати вершину», «Видалити вершину», «Додати ребро», «Видалити ребро», «Видалити граф» і «Знайти дерево мінімальної вартості»), області графічного представлення, області представлення графа у вигляді матриці та області виводу результатів (компонент типу TStatusBar, призначений для виводу розв'язку у вигляді списку ребер).

Читати повністю

Розв'язок задачі про найкоротший шлях використовуючи алгоритм Беллмана-Форда

Алгоритм Беллмана-Форда — це алгоритм, який обчислює найкоротші шляхи від однієї вихідної вершини до всіх інших вершин в зваженому орієнтованому графі. Безумовно, він являється повільнішим, ніж алгоритм Дейкстри для тієї ж задачі, але більш універсальний, оскільки здатний обробляти графи, в яких вага деяких ребер приймає від'ємного значення. Алгоритм зазвичай називають на честь двох його розробників, Річарда Беллмана і Лестера Форда, які опублікували його у 1958 та 1956 роках відповідно. Тим не менш, Едвард Форест Мур також опублікував даний алгоритм у 1957 році, і з цієї причини його також іноді називають алгоритмом Беллмана-Форда-Мура.

Різниця в кінцеваому результаті між алгоритмом Беллмана Форда та алгоритмом Дейкстри

Як уже зазначалося вище, алгоритм Беллмана-Форда підходить для роботи з графами, що мають ребра з від'ємною вагою. Однак, якщо граф містить «від'ємний цикл», тобто цикл, сума ваги ребер якого дорівнює від'ємному значенню, тоді, для даного графа, не існує дерева найкоротших шляхів (будь-який шлях такого типу може бути покращений ще одним проходом через ребра, що утворюють від'ємний цикл). В такому випадку алгоритм Беллмана-Форда може виявити цикли від'ємної довжини і повідомити про їх існування, але він не може дати правильну відповідь, тобто знайти найкоротший шлях, якщо від'ємний цикл досяжний з вершини джерела.

Читати повністю

Топологічне сортування вершин орієнтованого графа методом видалення вершини-джерела в середовищі програмування delphi

Топологічне сортування — це сортування елементів, для яких визначено частковий порядок, тобто впорядкування задано не на всіх, а тільки на деяких парах елементів. Крім того, це однин з основних алгоритмів на графах, який застосовується для вирішення більш складних задач.

Відмітимо, що на даному сайті нами вже були розглянуті загальні принципи топологічного сортування, вивчені основні методи топологічного сортування (метод, що базується на обході графа в глибину та метод видалення вершини-джерела), а також, розглянута реалізація першого методу, в середовищі програмування delphi.

Сьогодні розглянемо delphi-проект, який реалізує другий з методів, а саме метод видалення вершини-джерела. Виходячи з того, що розглядуваний проект нічим не відрізняється від свого попередника (тільки методом, що реалізується), то досліджувати призначення кожного з елементів його головної форми в даному параграфі не будемо. Це все можна знайти і ознайомитись, перейшовши за посиланням Топологічне сортування графа методом обходу в глибини в середовищі програмування delphi.

Читати повністю

Топологічне сортування орієнтованого графа методом видалення вершини-джерела

Нагадаємо, що за посиланням топологічне сортування вершин графа нами була розглянута одна з основних задач, що виникає при роботі з орієнтованими графами та один з методів для її рішення.

Задача про топологічне сортуванна графа

Топологічне сортування графа методом видалення вершини-джерела

Сьогодні, для розв'язку задачі такого типу, застосуємо дещо інший алгоритм, заснований на безпосередній реалізації методу зменшення розміру задачі, а якщо бути більш точним, то зменшенням розміру на одиницю.

Основна суть даного алгоритму полягаєв в тому, що на кожній з його ітерацій, здійснюється визначення вершини-джерела орієнтованого графа що залишився (джерелом називається вершина в яку не входить жодне ребро), і, в подальшому, видалення його з усіма, що виходять з нього, ребрами. Якщо таких вершин декілька, довільним чином вибирається одна з них. Порядок видалення таким чином вершин, дає рішення задачі про топологічне сортування. Відмітимо, що якщо на деякому кроці виявиться, що для орієнтованого графа що залишився, вершини-джерела не існує, то задача про тополігічне сортування розв'язків немає.

Читати повністю

Перевірка орієнтованого графа на ациклічність в середовищі програмування delphi

Програму розроблено в середовищі програмування Delphi, основним призначенням якої є перевірка орієнтованого графа на ациклічність. Нагадаємо, що орієнтований граф називається ациклічним, якщо в ньому відсутні орієнтовані цикли, тобто шляхи, що починається і закінчується в одній і тій же вершині. Відмітимо, що в якості методу, використовується алгоритм обходу в глибину.

Орієнтований граф в програмі задається у вигляді вершин (пронумеровані точки) та орієнтованих ребер (прямі лінії з заданим напрямком). Для цього на головній формі передбачено графічний редактор (компонент типу TImage) та дві кнопки типу TSpeedButton («Додати вершину» і «Додати ребро»). Підготовка проекту до нового прикладу здійснюється з допомогою кнопки «Видалити граф» (компонент типу TButton). При натисканні на кнопку «Перевірити орієнтований граф на наявність циклів» (також компонент типу TButton) власне і запускається алгоритм пошуку циклів в орієнтованому графі.

Вихідні дані програми — побудова дерева обходу в глибину та вивід у компонентів TMemo послідовності вершин орієнтованого циклу, якщо він існує.

Читати повністю

Топологічне сортування вершин орієнтованого графа

Нехай розглядається деякий орієнтований граф який не містить циклів. Під топологічним сортуванням даного графа розуміють процес лінійного впорядковування його вершин таким чином, що якщо в графі існує ребро , то, в упорядкованому списку вершин графа , вершина  передує вершині . Якщо в орієнтованому графі є цикли, то упорядкованого таким чином списку для нього не існує.

topologichne_sortuvannja_grafa28

Орієнтований граф та один з варіантів топологічного сортування його вершин

Відмітимо, що задачу про топологічне сортування можна переформулювати наступним чином: розмістити вершини орієнтованого графа на горизонтальній прямій таким чином, щоб всі його ребра йшли зліва направо. У житті це відповідає, наприклад, наступним проблемам: в якому порядку слід здійснювати розв'язок задачі, якщо вона розпадається на підзадачі і виконання деяких підзадач, зазвичай, починається слідом за закінченням інших; в якому порядку слід розташовувати теми в шкільному курсі математики, якщо для кожної теми відомо, знання яких інших тем необхідні для її вивчення; в якому порядку необхідно розподілити опис процедур в програмі, якщо деякі процедури можуть містити звернення до інших процедур.

Читати повністю

Перевірка орієнтованого графа на наявність циклів

Розглядаючи алгоритм обходу орієнтованого графа в глибину ми звертали увагу на те, що більшість задач, що стосуються графів такого типу, вирішуються з використанням даного алгоритму. Сьогодні розглянемо задачу, яка полягає у визначенні того, чи являється орієнтований граф ациклічним (нагадаємо, що орієнтований граф називають ациклічним, якщо в ньому немає циклів; циклом в орієнтованому графі називається шлях, що веде з вершини в саму себе), і покажемо, яким чином дана задача вирішується з допомогою глибинного обходу графа.

Отже, розглянемо деякий орієнтований граф . Для того, щоб перевірити даний граф на наявність циклів, виконуємо глибинний обхід всіх його вершин. В результаті, отримаємо дерево обходу в глибину. Якщо в побудованому дереві зустрінеться хоча б одне зворотне ребро, то ясно, що орієнтований граф має цикл. Справедливе і обернене твердження, тобто, якщо в орієнтованому графі є цикл, тоді зворотне ребро обов'язково зустрінеться при його обході методом пошуку в глибину. Щоб довести це, припустимо, що орієнтований граф  має цикл.

Перевірка орієнтованого графа на наявність циклів

Нехай при обході даного графа методом пошуку в глибину вершині присвоєно найменшу глибину обходу серед усіх вершин, що становлять цикл. Розглянемо ребро , що належить цьому циклу. Оскільки вершина входить в цикл, то вона повинна бути нащадком вершини  в побудованому дереві обходу в глибину. Тому ребро  не може бути поперечним. Але, виходячи з того, що глибина обходу вершини  більша за глибину обходу вершини  то ребро  також не може бути ні ребром дерева ні прямим ребром. Звідси, ребро  є зворотним, як показано на малюнку, що міститься вище.

Читати повністю

Наступна сторінка »