Топологічне сортування вершин орієнтованого графа методом видалення вершини-джерела в середовищі програмування delphi

Топологічне сортування — це сортування елементів, для яких визначено частковий порядок, тобто впорядкування задано не на всіх, а тільки на деяких парах елементів. Крім того, це однин з основних алгоритмів на графах, який застосовується для вирішення більш складних задач.

Відмітимо, що на даному сайті нами вже були розглянуті загальні принципи топологічного сортування, вивчені основні методи топологічного сортування (метод, що базується на обході графа в глибину та метод видалення вершини-джерела), а також, розглянута реалізація першого методу, в середовищі програмування delphi.

Сьогодні розглянемо delphi-проект, який реалізує другий з методів, а саме метод видалення вершини-джерела. Виходячи з того, що розглядуваний проект нічим не відрізняється від свого попередника (тільки методом, що реалізується), то досліджувати призначення кожного з елементів його головної форми в даному параграфі не будемо. Це все можна знайти і ознайомитись, перейшовши за посиланням Топологічне сортування графа методом обходу в глибини в середовищі програмування delphi.

Читати повністю

Топологічне сортування орієнтованого графа методом видалення вершини-джерела

Нагадаємо, що за посиланням топологічне сортування вершин графа нами була розглянута одна з основних задач, що виникає при роботі з орієнтованими графами та один з методів для її рішення.

Задача про топологічне сортуванна графа

Топологічне сортування графа методом видалення вершини-джерела

Сьогодні, для розв'язку задачі такого типу, застосуємо дещо інший алгоритм, заснований на безпосередній реалізації методу зменшення розміру задачі, а якщо бути більш точним, то зменшенням розміру на одиницю.

Основна суть даного алгоритму полягаєв в тому, що на кожній з його ітерацій, здійснюється визначення вершини-джерела орієнтованого графа що залишився (джерелом називається вершина в яку не входить жодне ребро), і, в подальшому, видалення його з усіма, що виходять з нього, ребрами. Якщо таких вершин декілька, довільним чином вибирається одна з них. Порядок видалення таким чином вершин, дає рішення задачі про топологічне сортування. Відмітимо, що якщо на деякому кроці виявиться, що для орієнтованого графа що залишився, вершини-джерела не існує, то задача про тополігічне сортування розв'язків немає.

Читати повністю

Перевірка орієнтованого графа на ациклічність в середовищі програмування delphi

Програму розроблено в середовищі програмування Delphi, основним призначенням якої є перевірка орієнтованого графа на ациклічність. Нагадаємо, що орієнтований граф називається ациклічним, якщо в ньому відсутні орієнтовані цикли, тобто шляхи, що починається і закінчується в одній і тій же вершині. Відмітимо, що в якості методу, використовується алгоритм обходу в глибину.

Орієнтований граф в програмі задається у вигляді вершин (пронумеровані точки) та орієнтованих ребер (прямі лінії з заданим напрямком). Для цього на головній формі передбачено графічний редактор (компонент типу TImage) та дві кнопки типу TSpeedButton («Додати вершину» і «Додати ребро»). Підготовка проекту до нового прикладу здійснюється з допомогою кнопки «Видалити граф» (компонент типу TButton). При натисканні на кнопку «Перевірити орієнтований граф на наявність циклів» (також компонент типу TButton) власне і запускається алгоритм пошуку циклів в орієнтованому графі.

Вихідні дані програми — побудова дерева обходу в глибину та вивід у компонентів TMemo послідовності вершин орієнтованого циклу, якщо він існує.

Читати повністю

Топологічне сортування вершин орієнтованого графа

Нехай розглядається деякий орієнтований граф який не містить циклів. Під топологічним сортуванням даного графа розуміють процес лінійного впорядковування його вершин таким чином, що якщо в графі існує ребро , то, в упорядкованому списку вершин графа , вершина  передує вершині . Якщо в орієнтованому графі є цикли, то упорядкованого таким чином списку для нього не існує.

topologichne_sortuvannja_grafa28

Орієнтований граф та один з варіантів топологічного сортування його вершин

Відмітимо, що задачу про топологічне сортування можна переформулювати наступним чином: розмістити вершини орієнтованого графа на горизонтальній прямій таким чином, щоб всі його ребра йшли зліва направо. У житті це відповідає, наприклад, наступним проблемам: в якому порядку слід здійснювати розв'язок задачі, якщо вона розпадається на підзадачі і виконання деяких підзадач, зазвичай, починається слідом за закінченням інших; в якому порядку слід розташовувати теми в шкільному курсі математики, якщо для кожної теми відомо, знання яких інших тем необхідні для її вивчення; в якому порядку необхідно розподілити опис процедур в програмі, якщо деякі процедури можуть містити звернення до інших процедур.

Читати повністю

Перевірка орієнтованого графа на наявність циклів

Розглядаючи алгоритм обходу орієнтованого графа в глибину ми звертали увагу на те, що більшість задач, що стосуються графів такого типу, вирішуються з використанням даного алгоритму. Сьогодні розглянемо задачу, яка полягає у визначенні того, чи являється орієнтований граф ациклічним (нагадаємо, що орієнтований граф називають ациклічним, якщо в ньому немає циклів; циклом в орієнтованому графі називається шлях, що веде з вершини в саму себе), і покажемо, яким чином дана задача вирішується з допомогою глибинного обходу графа.

Отже, розглянемо деякий орієнтований граф . Для того, щоб перевірити даний граф на наявність циклів, виконуємо глибинний обхід всіх його вершин. В результаті, отримаємо дерево обходу в глибину. Якщо в побудованому дереві зустрінеться хоча б одне зворотне ребро, то ясно, що орієнтований граф має цикл. Справедливе і обернене твердження, тобто, якщо в орієнтованому графі є цикл, тоді зворотне ребро обов'язково зустрінеться при його обході методом пошуку в глибину. Щоб довести це, припустимо, що орієнтований граф  має цикл.

Перевірка орієнтованого графа на наявність циклів

Нехай при обході даного графа методом пошуку в глибину вершині присвоєно найменшу глибину обходу серед усіх вершин, що становлять цикл. Розглянемо ребро , що належить цьому циклу. Оскільки вершина входить в цикл, то вона повинна бути нащадком вершини  в побудованому дереві обходу в глибину. Тому ребро  не може бути поперечним. Але, виходячи з того, що глибина обходу вершини  більша за глибину обходу вершини  то ребро  також не може бути ні ребром дерева ні прямим ребром. Звідси, ребро  є зворотним, як показано на малюнку, що міститься вище.

Читати повністю

Побудова дерева обходу в глибину для орієнтованого графа в середовищі програмування delphi

Розглядуваний в даному параграфі delphi-проект реалізує процес побудови дерева обходу в глибину для орієнтованого графа. Головна форма проекту, як і у випадку з глибинним обходом неорієнтованого графа, ділиться на дві частини і складається з панелі інструментів та графічного редактора.

Головне вікно проекту "Побудова дерева обходу в глибину для орієнтованого графа"

  1. Панель інструментів (компонент типу TPanel): містить чотири кнопки: «Додати вершину» (типу TSpeedButton), «Додати ребро» (типу TSpeedButton), «Видалити граф» (типу TButton) та «Побудувати дерево обходу в гибину» (типу TButton). Відмітимо, що три кнопки з даного списук призначенні для побудови та видалення орієнтованого графа і четверта — реалізує його глибинний обхід.
  2. Графічний редактор (компонент типу TImage): призначений для побудови і візуалізації орієнтованого графа, а також візуалізації відповідного йому дерева обходу в глибину. Для того, щоб намалювати вершини графа потрібно, на першому кроці, активізувати кнопку панелі задач «Додати вершину». На наступному кроці, з допомогою лівої кнопки мишки, розставити їх у відповідній області форми. Після того, як вершини створено потрібно пов'язати їх відповідним орієнтованим ребром. Орієнтоване ребро в даній програмі створюється наступним чином: активізувавши кнопоку «Додати ребро» лівою кнопокою миші поєднюємо необхідні вершини. Для видалення графа чи побудови його дерева обходу в глибину необхідно скористатися однойменними кнопками що містяться на панелі задач.

В якості демонстрації можливостей роботи програми, наведемо приклад рішення задачі, яка полягає у побудові дерева обходу в глибину для орієнтованого графа, що міститься на настуному малюнку:

Читати повністю

Обхід орієнтованого графа в глибину

Як показує практика, більшість задачах, пов'язаних з графами, тою чи іншою мірою зводяться до систематичного обходу всіх його вершин. Відмітимо, що на даному сайті нами було розглянуто два найбільш часто використовуваних методи обходу графів — це пошук в глибину та пошук в ширину. Проте, хочиться зазначити, що обидва ці методи ми ефективно використовували для розв'язку задач пов'язаних лише з неорієнтованими графами. Сьогодні, запишемо алгоритм обходу в глибину для орієнтованого графа і, в подальшому, пркажемо яким чином, з його допомогою вирішуються такі задачі як перевірка орієнтованого графа на ациклічність, топологічне сортування та знаходження сильно зв'язних компонентів орієнтованого графа.

Обхід в глибину орієнтованого графа

По суті, послідовність дій при глибинному обхід орієнтованого графа нічим не відрізняється від обходу неорієнтованого графа. Для того, щоб показати це, розглянемо деяки орієнтований граф , для якого, спочатку, всі вершини вважаються не пройденими, а ребра не перерглянутими. Пошук в глибину, починається з вибору початкової вершини . Відмітимо, що дана вершина після цього вважається пройденою. На наступному кроці, вибирається будь-яке не переглянуте, інцидентне вершині  орієнтоване ребро, наприклад (при цьому говорять, що  — початкова вершина ребра, а  — кінцева вершина). Якщо вершина  раніше не була пройдена, то використовуючи ребро  переходимо у вершину  і продовжуємо пошук з неї. Ребро  після цих дій вважається переглянутим і називається ребром дерева, а вершина  називається батьківською по відношенню до вершини . Якщо ж вершина  була раніше пройдена, то продовжуємо пошук іншого не пройденого ребра, інцидентного . В цьому випадку ребро  також вважається переглянутим і називається зворотним, прямим або поперечним ребром (яким чином розрізняють ці три типи ребер буде показано нижче).  Коли всі вершини, які можна досягти з вершини , будуть пройдені, пошук закінчується. Якщо, після цього, деякі вершини залишилися не пройденими, то вибирається одна з них і пошук повторюється. Цей процес триває до тих пір, поки всі вершини орграфа  не будуть пройденими.

Читати повністю

Наступна сторінка »