Чисельне інтегрування функції методом Ромберга

Перш ніж приступити до розгляду чергового методу чисельного інтегрування, нагадаємо, що інтеграл від функції чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком цієї функції і межами інтегрування . Відмітимо, що розглядувані на даному сайті методи (метод прямокутниківметод трапецій, метод Сімпсона), базуються на процедурі поділу відрізка  на елементарних частин, після чого, площа криволінійної трапеції обчислюється, як сума площ  прямокутників чи трапецеїдних фігур (в залежності від вибраного методу). Проте, результат отриманий згідно даних методів, сильно залежить від величини кроку (), що позначається на точності обчислення визначеного інтеграла особливо в тих випадках, коли функція має немонотонний характер.

Використання екстраполяції Річардсона, при інтегруванні відомими методами, дозволяє значно скоротити машинний час при незмінній точності результату (оскільки уточнення результату інтегрування не потребує додаткових обчислень функції). Застосування наведеної нижче методики до ітераційної формули трапецій складає розглядуваний метод Ромберга.

Далі, розглянемо основну суть екстраполяції Річардсона. Для цього, вибиремо деякий крок  і розрахуємо по формулі трапецій деяке значення інтеграла . Далі, крок  зменшимо удвічі, в результаті чого, отримаємо нове значення . Тоді, згідно з екстраполяцією Річардсона, розраховане значення інтеграла може бути уточнене за формулою:

Читати повністю

Чисельне інтегрування методом Монте-Карло

Нехай потрібно обчислити інтеграл від деякої функції Метод Монте-Карло на інтерваді Метод Монте-Карло:

Метод Мрнте-Карло

В попередніх темах ми розглядали методи (метод трапеційметод пр'ямокутниківметод Сімпсона), які використовують значення функції Метод Монте-Карло обчислені в рівновіддалених точках проміжку Метод Монте-Карло. Проте, для рішення даної проблеми можна застосувати дещо інший підхід, основна ідея якого полягає в наступному: розглянемо деякий прямокутник, для якого виберемо довжину (b-a) та висоту H таким чином, щоб функція Метод Монте-Карло повністю лежала в середині даного прямокутника.

Основна ідея методу Монте-Карло

Графічна інтерпритація методу Монте-Карло

Далі, згенеруємо N пар випадкових чисел рівномірно розподілених в отриманому прямокутнику.

Читати повністю