Мітки: многочлен

Обчислення значення полінома використовуючи схему Горнера

Нехай дано многочлен -ї степені:

коефіцієнтами якого являються дійсні числа. І примустимо, що нам необхідно обчислити значення даного многочлена в точці :

Найпростіший спосіб обчислення числа полягає в тому, щоб послідовно піднести до другої, третьої і так далі, аж до -ї степені. Після цього кожне отримане число помножити на відповідний коефіцієнт і все просумувати. При цьому нам необхідно зробити операцій додавання і -ну операцію множення.

Відшукання власних значень матриці використовуючи метод Федєєва в середовищі програмування Delphi

Програма призначена для відшукання власних значень матриці використовуючи метод Федєєва. Даний метод являється модифікацією методу Левер’є і за рахунок певних спрощень при обчисленні коефіцієнтів характеристичного многочлена, вважається більш ефективним. Також слід відмітити, що з допомогою методу Федєєва можна також визначити власні вектори та знайти обернену матрицю до заданої.

На вході програма приймає квадратну матрицю розмірності N×N. Після чого, використовуючи алгоритм методу Федєєва, відшукує коефіцієнти характеристичного многочлена і в подальшому, з допомогою методу хорд, знаходить корені характеристичного рівняння. Отриманий розв’язок і являтиметься шуканими власними значеннями заданої матриці.

Програмна реалізація алгоритму методу Левер’є для знаходження власних значень матриці

Створений delphi-проект, в залежності від величин N (кількість рядків та стовпців), створює матрицю розміром N×N і призначена для знаходження власних значень для даної матриці (діапазон розмірності матриці змінюється від 2 до 5). В якості методу програма викристовує метод Левер’є. Алгоритм розкриття вікового визначника з допомогою даного методу доволі простий: в першу чергу здійснюється відшукання матриць A^{k –}степені матриці А і в подальшому знаходженні суми їх діагональних елементів (більш детальна інформація про даний методу містиься за посиланням Знаходження власних значень матриці за методом Левер’є).

Запустивши розглядуваний проект на виконання бачимо, що головне вікно програми ділиться на дві частини: робочої області (складається з поля “Розмірність матриці”, таблиці StringGrid в комірках якої відображаються елементи матриці і кнопки “Знайти власні значення матриці“) та поля виводу результатів (компонент Memo).

Знаходження власних значень матриці використовуючи метод Фадєєва

Метод Фадєєва також відноситься до точних чисельних методів призначених для відшукання власних значень матриці і являється певною модифікацією методу Левер’є. Даний метод вважається більш ефективним, тому що крім спрощень при обчисленні коефіцієнтів характеристичного полінома він дозволяє визначити власні вектори та обернену матрицю до заданої.

Основна ідея методу Фадєєва полягає в тому, що замість послідовності , яку ми відшукували використовуючи алгоритм методу Левер’є, обчислюють послідовність , побудовану за наступними формулами:

Метод Фадєєва

де – одинична матриця того ж самого порядку, що і матриця ; сліди матриць відповідно.

Знаходження власних значень матриці використовуючи метод Левер’є

Процес знаходження власних значень за методом Левер’є ділиться на два етапи: розкриття характеристичного многочлена та знаходження його коренів. Розглянемо дані етапи більш детально. Для цього, розглянемо матрицю , для якої запишемо характеристичний многочлен у наступному вигляді:

де корені даного многочлена. Розкладемо многочлен (1) на лінійні множники. В результаті отримаємо:

Перемноживши вирази, які містяться в правій частині (2) та звівши подібні члени, після чого прирівнявши їх з відповідними коефіцієнтами з (1), отримаємо формули, які виражають коефіцієнти характеристичного мнгочлена через його корені:

metod_laverre31

де – елементарні симетричні функції коренів характеристичного многочлена.

Програма апроксимації таблично заданої функції методом найменших квадратів

На практиці доволі часто виникає необхідність знайти функціональну залежність між величинами x та y, які отримані в результаті деякого експерименту. Для вирішення поставленої задачі була створена програма в середовищі Delphi, яка використовуючи апроксимацію (наближення) функції методом найменших квадратів, знаходить деяку функцію, значення якої мало відрізняються від експерементальних даних.

Інтерфейс програми "Апроксимація функції методом найменших квадратів"

Дана форма включає в себе: таблицю в яку заносять експкркментальні дані; список, в який виводяться коефіцієнти апроксимуючого многочлена; графік многочлена; поле вибору, в якому вказуємо степінь многочлена.

Інтерполяція функцій методом Лагранжа для нерівновіддалених вузлів на Delphi

Програма виконує інтерполяцію функції за методом Лагранжа. Інтерфейс програми простий та зрозумілий у використанні. Ліва частина форми містить поле “Розмір таблиці”, яке відповідає за число заданих вузлів інтерполяції досліджуваної функції (способом введення з клавіатури записуються у таблицю) і степінь інтерполяційного многочлена. Також ліва частина форми містить три кнопкт та одне поле вводу:

“Побудувати графік функції” – будує графік функції та відображає на ньому вузли інтерполяції.
“Очистити” – видаляє з таблиці дані та побудований графік функції.
“Обчислити значення функції” – обчислює значення функції в точці, яка задається в полі вводу “Задати точку”, а також відображає її на графіку.

Праву частину форми займає компонент, на якому відображаються вузли інтерполяції та графік досліджуваної функції.

Інтерполяційна формула Лагранжа на Delphi

Головне вікно програми яка виконує інтерполяцію функції за методом Лагранжа

Інтерполяційні формули Лагранжа для нерівновіддалених вузлів інтерполяції

Нехай на відрізку [a; b] дано (n+1) різних значень аргумента () для яких відомі відповідні значення функції . Необхідно побудувати поліном, степінь якого не перевищує n, і який у вузлах інтерполяції приймає ті ж значення, що і функція , тобто. Інтерполяційна формула Лагранжа дозволяє представити поліном у вигляді лінійної комбінації функції у вузлах інтерполяції: