Ранг матриці. Обчислення рангу матриці за методом обвідних мінорів та методу елементарних перетворень

Розглянемо матрицю Ранг матриці розмірності Ранг матриці. В даній матриці виділимо будь-які Ранг матриці рядкуів і таку саму кількість стовпців, де число Ранг матриці не повинно перевищувати загальну кількість рядків і стовпців заданої матриці, тобто Ранг матриці. Визначник, який утворится з елементів, що стоять на перетині виділених Ранг матрицірядків і стовпців називається мінором Ранг матриці-го порядку матриці Ранг матриці. Найбільший з порядків відмінних від нуля мінорів даної матриці називається її рангом. З даного означення випливає наступне:

  1. Ранг існує для будь-якої матриці Ранг матриці розмірності Ранг матриці, причому Ранг матриці.
  2. Ранг матриці тоді і тільки тоді, коли коли всі елементи матриці Ранг матриці рівні нулю.
  3. Для квадратної матриці Ранг матриці-го порядку ранг дорівнює Ранг матриці тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена, тобто її визначник відмінний від нуля.

Серед алгоритмів для знаходження рангу матриці виділяють два: метод обвідних мінорів та метод елементарних перетворень. Перший з них полягає в наступному: на першому кроці, знаходимо будь-який мінор rang_matrici10 першого порядку (тобто елемент матриці) відмінний від нуля. Якщо такого мінора немає то матриця являється нульовою і ранг такої матриці, як було вище сказано рівний нулю. Якщо ж серед мінорів першого порядку існух хоча б один відмінний від нуля, то переходимо до обчислення мінорів другого порядку, які містять в собі rang_matrici10 (обводять rang_matrici10) до тих пір, поки не знайдем мінор rang_matrici111 відмінний від нуля. Якщо такого мінора немає, то rang_matrici12, якщо є, то rang_matrici13 і так далі продовжуючи даний процес, переходимо до обчислення мінорів rang_matrici14-го порядку, якщо вони існують, які обводять мінор rang_matrici15. Якщо таких мінорів немає, або вони всі дорівнюють нулю, то Ранг матриці, якщо хочаб один мінор rang_matrici16, то rang_matrici17 і так далі.

Читати повністю