Обернена матриця методом алгебраїчних доповнень в середовищі Delphi

Програма написана в середовищі програмування Delphi і призначена для знаходження оберненої матриці з допомогою методу алгебраїчних доповнень. Алгоритм побудови оберненої матриці в такий спосіб включає наступні етапи: формування і розрахунок визначника вхідної матриці; побудова матриці, елементами якої є алгебраїчні доповнення відповідних елементів вхідної матриці; транспонування отриманої матриці алгебраїчних доповнень; формування оберненої матриці шляхом ділення транпонованої матриці алгебраїчних доповнень на визначник вхідної матриці.

Інтерфейс delphi-проекту, який з допомогою методу алгебраїчних доповненть знаходить обернену матрицю

Інтерфейс delphi-проекту, який з допомогою методу алгебраїчних доповненть знаходить обернену матрицю до заданої

Читати повністю

Знаходження оберненої матриці з допомогою алгебраїчних доповненень

Нехай Знаходження оберненої матриці — квадратна матриця obernena_matr2-го порядку. Квадратна матриця obernena_matr3, також obernena_matr2-го порядку, називається оберненою до Знаходження оберненої матриці, якщо obernena_matr4. Нагадаємо, що для будь-якої квадратної матриці існує обернена, при чому єдина, в тому випадку, коли вона являється невиродженою, тобто визначник даної матриці відмінний від нуля.

Для знаходження оберненої матриці будемо використовувати наступний алгоритм:

  1. З допомогою методу Гаусса чи методу розкладу визначника, знаходимо детермінант матриці obernena_matr5.
  2. Знаходимо транспоновану матрицю obernena_matr6 (отримують з вихідної матриці шляхом заміни її рядків на стовпці).
  3. Для кожного елемента транспонованої матриці обчислюємо алгебраїчні доповнення (алгебраїчне доповнення елемента — це мінор, взятий зі знаком "+" якщо сума номера рядка і стовпця елемента парне число, і зі знаком "-" — у протилежному випадку, де мінор елемента матриці — це визначник (n-1)-го порядку, який утворюється з початкового визначника, шляхом закреслення рядка та стовпця, в яких міститься даний елемент).
  4. На наступному кроці, знаходимо обернену матрицю використовуючи наступну формулу:

Читати повністю

Обчислення детермінанта квадратної матриці методом розкладу по першому рядку в середовищі Delphi

Програма призначена для знаходження визначника (детермінанта) квадратної матриці і використовує для цього наступний підхід: визначник n-го порядку зводиться до обчислення суми визначників-мінорів (n-1) -го порядку, після чого, обчислення кожного з таких визначників-мінорів, в свою чергу, зводиться до обчислення суми визначників-мінорів (n-2) -го порядку і так далі. Даний процес продовжують до тих пір, поки, не отримають визначники 2-го порядку, який обчислюється за наступним правилом: детермінант матриці другого порядку дорівнює добутку елементів, що розташовані на головній діагоналі, від якого віднімаються добуток елементів побічної. Даний підхід носить назву методом розкладу визначника по рядку (стовпці) (в нашому випадку розклад здійснюється по першому рядку).

Головне вікно проекту складається з панелі інструментів та таблиці (компонент StringGrid), яку необхідно заповнити значеннями елементів матриці. Розмірність даної таблиці залежить від значення яке міститься в полі "Розмірність матриці". Тобто від користувача вимагається вказати розмірність матриці, детермінант якої необхідно обчислити, заповнити таблицю значеннями її елементів після чого натиснути кнопку "Знайти визначник". Результатом виконання програми є вивід в статусному рядку отриманого значення.

Читати повністю

Обчислення визначників високих порядків за схемою розкладу визначника по рядку чи стовпці

Перш ніж приступити до розгляду формули для обчислення визначників розмірність яких перевищує три, давайте пригадаємо, яким чином їх знаходять для матриць менших розмірностей. Отже, визначником матриці другого порядку називається число, яке записується і обчислюється наступним чином:

Детермінант матриці з допомогою алгебраїчних доповнень

тобто, від добутку елементів, що стоять на головній діагоналі, віднімаємо добуток елементів бічної дівгоналі.

Визначником матриці третього порядку називається число, яке зазвичай обчислюється за правилом трикутника, а саме: визначник третього порядку дорівнює сумі добутків елементів, що стоять на головній діагоналі, та двох трикутниках, які будуємо так, щоб одна із сторін була паралельна головній діагоналі і всі елементи якого повинні бути у різних рядках та стовпцях. Після цього, від даної суми віднімається сума дібутків елементів, що розташовані на бічній діагоналі та на двох трикутниках, які будуємо так, щоб одна із сторін трикутника була паралельна бічній діагоналі, та всі елементи були на різних рядках та стовпцях. Дане правило описується насутпною формулою:

Читати повністю