Мінімізація функції багатьох змінних використовуючи метод Ньютона (метод Ньютона на Delphi)

Програма призначена для знаходження точки мінімуму функцій декількох змінних, тобто для мінімізації цих функцій. У програмі реалізовано один з методів, який відноситься до методів другого порядку — метод Ньютона. Даний метод при пошуку мінімуму використовує інформацію про функцію та її похідні до другого порядку включно. Детально розглядати теоретичну частину методу Ньютона в даному параграфі не будемо, її можна знайти за посиланням мінімізація функції багатьох змінних використовуючи методом Ньютона. Розглянемо лише delphi-проект, який реалізує алгоритм даного методу.

Програма на вході приймає функцію, для якої необхідно знайти мінімальне значення, список змінних, від яких залежить функція та початкове наближення. Тобто, якщо нам необхідно мінімізувати функцію Мінімізація функції методом Ньютона на Delphi, нам необхідно у відповідні поля головної форми проекту ввести наступні дані:

  1. У поле «Функція» — X*X+Y*Y-16.
  2. У поле «Список змінних» — X;Y.
  3. У поле «Початкове значення» — 0;0.

Після того, як всі поля заповнено, головна форма набуде наступного вигляду:

Читати повністю

Мінімізація функції двох змінних використовуючи метод Ньютона (метод Ньютона на Delphi)

В даному параграфі розглядається delphi-проект, який використовуючи метод Ньютона знаходить мінімум функції двох змінних. За допомогою даного методу часто вдається за невелику кількість ітерацій отримувати рішення задачі на безумовний мінімум з високою точністю. Однак, при практичному застосуванні метод Ньютона вимагає значних обчислювальних витрат. Це зумовлено тим, що на кожній ітерації доводиться обчислювати градієнт функції (вектор, елементами якого є частинні похідні першого порядку), обчислювати елементи матриці Гессе (для визначення яких необхідно знайти частинні похідні другого порядку від заданої функції) та знаходження оберненої матриці. Більш детальний опис алгоритму мінімізації функції за даним методом можна знайти за посиланням мінімізація функції багатьох змінних використовуючи методом Ньютона.

Результатом роботи програми, є побудова графіка функції використовуючи компонент Plot3D, вивід в статусний рядок (міститься в нижній частині форми) координатів точки мінімуму та обчислення значення функції в цій точці. Також відмітимо, що дана програма не є універсальною, тобто мінімізує лише  задану функцію.

Читати повністю

Мінімізація функції методами других порядків (метод Ньютона)

У методах другого порядку при пошуку мінімуму використовують інформацію про функцію та її похідні до другого порядку включно. До цієї групи відносять метод Ньютона, в основі якого лежить квадратична апроксимація, яку отримують шляхом розкладу функції метод Ньютона в ряд Тейлора і відкидаючи члени третього і більш високих порядкув:

Метод Ньютона

де Метод Ньютона — квадратна матриця (матриця Гессе), елементами якої є частинні похідні другого порядку функції optumizacija_metodom_njytona4 в точці Метод Ньютона і які можна обчислити за наступною формулою:

Метод Ньютона

Далі, для визначення напрямку пошуку точки мінімуму за методом Ньютона, замінимо в виразі (1) Метод Ньютона на Метод Ньютона і Метод Ньютона на Метод Ньютона. В результаті отримаємо:

Читати повністю