Програмна реалізація алгоритму методу Левер'є для знаходження власних значень матриці

Створений delphi-проект, в залежності від величин N (кількість рядків та стовпців), створює матрицю розміром N×N і призначена для знаходження власних значень для даної матриці (діапазон розмірності матриці змінюється від 2 до 5). В якості методу програма викристовує метод Левер'є. Алгоритм розкриття вікового визначника з допомогою даного методу доволі простий: в першу чергу здійснюється відшукання матриць Ak — степені матриці А і в подальшому знаходженні суми їх діагональних елементів (більш детальна інформація про даний методу містиься за посиланням Знаходження власних значень матриці за методом Левер'є).

Запустивши розглядуваний проект на виконання бачимо, що головне вікно програми ділиться на дві частини: робочої області (складається з поля «Розмірність матриці», таблиці StringGrid в комірках якої відображаються елементи матриці і кнопки «Знайти власні значення матриці») та поля виводу результатів (компонент Memo).

Читати повністю

Знаходження власних значень матриці використовуючи метод Левер'є

Процес знаходження власних значень за методом Левер'є ділиться на два етапи: розкриття характеристичного многочлена та знаходження його коренів. Розглянемо дані етапи більш детально. Для цього, розглянемо матрицю metod_laverre2, для якої запишемо характеристичний многочлен у наступному вигляді:

metod_laverre14

де Метод Леверр'є корені даного многочлена. Розкладемо многочлен (1) на лінійні множники. В результаті отримаємо:

metod_laverre15

Перемноживши вирази, які містяться в правій частині (2) та звівши подібні члени, після чого прирівнявши їх з відповідними коефіцієнтами з (1), отримаємо формули, які виражають коефіцієнти характеристичного мнгочлена через його корені:

metod_laverre31

де metod_laverre17 - елементарні симетричні функції коренів характеристичного многочлена.

Читати повністю