Ранг матриці. Обчислення рангу матриці за методом обвідних мінорів та методу елементарних перетворень

Розглянемо матрицю Ранг матриці розмірності Ранг матриці. В даній матриці виділимо будь-які Ранг матриці рядкуів і таку саму кількість стовпців, де число Ранг матриці не повинно перевищувати загальну кількість рядків і стовпців заданої матриці, тобто Ранг матриці. Визначник, який утворится з елементів, що стоять на перетині виділених Ранг матрицірядків і стовпців називається мінором Ранг матриці-го порядку матриці Ранг матриці. Найбільший з порядків відмінних від нуля мінорів даної матриці називається її рангом. З даного означення випливає наступне:

  1. Ранг існує для будь-якої матриці Ранг матриці розмірності Ранг матриці, причому Ранг матриці.
  2. Ранг матриці тоді і тільки тоді, коли коли всі елементи матриці Ранг матриці рівні нулю.
  3. Для квадратної матриці Ранг матриці-го порядку ранг дорівнює Ранг матриці тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена, тобто її визначник відмінний від нуля.

Серед алгоритмів для знаходження рангу матриці виділяють два: метод обвідних мінорів та метод елементарних перетворень. Перший з них полягає в наступному: на першому кроці, знаходимо будь-який мінор rang_matrici10 першого порядку (тобто елемент матриці) відмінний від нуля. Якщо такого мінора немає то матриця являється нульовою і ранг такої матриці, як було вище сказано рівний нулю. Якщо ж серед мінорів першого порядку існух хоча б один відмінний від нуля, то переходимо до обчислення мінорів другого порядку, які містять в собі rang_matrici10 (обводять rang_matrici10) до тих пір, поки не знайдем мінор rang_matrici111 відмінний від нуля. Якщо такого мінора немає, то rang_matrici12, якщо є, то rang_matrici13 і так далі продовжуючи даний процес, переходимо до обчислення мінорів rang_matrici14-го порядку, якщо вони існують, які обводять мінор rang_matrici15. Якщо таких мінорів немає, або вони всі дорівнюють нулю, то Ранг матриці, якщо хочаб один мінор rang_matrici16, то rang_matrici17 і так далі.

Читати повністю

Знаходження оберненої матриці з допомогою алгебраїчних доповненень

Нехай Знаходження оберненої матриці — квадратна матриця obernena_matr2-го порядку. Квадратна матриця obernena_matr3, також obernena_matr2-го порядку, називається оберненою до Знаходження оберненої матриці, якщо obernena_matr4. Нагадаємо, що для будь-якої квадратної матриці існує обернена, при чому єдина, в тому випадку, коли вона являється невиродженою, тобто визначник даної матриці відмінний від нуля.

Для знаходження оберненої матриці будемо використовувати наступний алгоритм:

  1. З допомогою методу Гаусса чи методу розкладу визначника, знаходимо детермінант матриці obernena_matr5.
  2. Знаходимо транспоновану матрицю obernena_matr6 (отримують з вихідної матриці шляхом заміни її рядків на стовпці).
  3. Для кожного елемента транспонованої матриці обчислюємо алгебраїчні доповнення (алгебраїчне доповнення елемента — це мінор, взятий зі знаком "+" якщо сума номера рядка і стовпця елемента парне число, і зі знаком "-" — у протилежному випадку, де мінор елемента матриці — це визначник (n-1)-го порядку, який утворюється з початкового визначника, шляхом закреслення рядка та стовпця, в яких міститься даний елемент).
  4. На наступному кроці, знаходимо обернену матрицю використовуючи наступну формулу:

Читати повністю

Знаходження розв'язку диференціального рівняня методом Рунге-Кутта-Мерсона в середовищі програмування Delphi

Програми написані на мові Borland Delphi і дозволяє вирішувати диференціальні рівняння першого порядку точності, використовуючи для цього метод Рунге-Кутта-Мерсона. Перевагою даного методу є можливість оцінити похибку на кожному кроці інтегрування і в залежності від цього зменшити чи збільшити даний крок. Така можливість дає змогу досягнути заданої точності розв'язку та значно скоротити час рішення диференціального рівняння.

Суть роботи програми доволі проста, за вхідними даними (інтервал інтегрування і крок h) формується масив X[i], і такої ж розмірності масив Y[i], значення елементів якого заповнюються за алгоритмом методу Рунге-Кутта-Мерсона. Також відмітимо, що при роботі з програмою слід враховувати, що точність результату значною мірою залежить від величини кроку інтегрування, тобто чим менший крок h тим більша точність результуючих даних.

Результатом роботи програми є вивід послідовності точок (масив X[i]) та значень функції в них (масив Y[i]), а також побудова відповідного графіка в компоненті TChart.

Читати повністю

Метод Рунге-Кутта-Мерсона. Розв'язування звичайних диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта-Мерсона

Метод Рунге-Кутта-Мерсона, являється оденійєю з модифікацій методу Рунге-Кутта четвертого порядку точності і відрізняється від нього можливістю оцінювати похибку на кожному кроці і в залежності від цього приймати рішення про зміну кроку інтегрування і таким чином значно скоротити час розв'язку диференціального рівняння. Для того, щоб розглянути даний алгоритм більш детально запишемо диференціальне рівняння виду:

Метод Рунге-Кутта-Мерсона

з початковою умовою Метод Рунге-Кутта-Мерсона. Далі, задавши початковий крок інтегрування Метод Рунге-Кутта-Мерсона та точність Метод Рунге-Кутта-Мерсона, на кожному кроці обчислюємо коефіцієнти:

Метод Рунге-Кутта-Мерсона

після чого послідовні значення Метод Рунге-Кутта-Мерсона шуканої функції Метод Рунге-Кутта-Мерсона визначаються за наступною формулою:

Читати повністю

Знаходження розв'язку задачі Коші засобами Delphi використовуючи метод Мілна

Розглянемо delphi-проект, який використовуючи метод Мілна четвертого порядку точності (відноситься до групи методів прогнозу і коррекції) знаходить чисельний розв'язок задачі Коші. Перш ніж приступити до розгляду головної форми delphi-програми, нагадаємо, що основна ідея методів прогнозу і коррекції полягає в тому, що  рішення в наступній точці знаходиться у два етапи. На першому етапі знаходимо прогнозоване значення функції. На другому — корекція значення отриманого на попередньому етапі. Більш детальну інформацію про метод Мілна можна знайти за посиланням Знаходження розв'язку задачі Коші використовуючи метод Мілна.

Отже, після запуску програми, яка реалізує Метод Мілна, на екрані появиться форма наступного виду:

Головна форма delphi-проекту, який використовуючи метод мылна знаходить розвєязок задачі Коші

Головна форма delphi-проекту, який використовуючи метод Мілна знаходить розв'язок задачі Коші

Читати повністю

Знаходження розв'язку задачі Коші використовуючи метод Мілна

Одним з найбільш простих і практично зручних методів чисельного рішення диференціальних рівнянь є метод Мілна. Метод Мілна відноситься до багатокрокових методів і представляє один з методів прогнозу і корекції, тобто, рішення в наступній точці знаходиться у два етапи. На першому етапі здійснюється за спеціальною формулою прогноз значення функції, а потім на другому етапі — корекція отриманого значення. Якщо отримане значення Метод Мілна після корекції істотно відрізняється від спрогнозованого, то проводять ще один етап корекції. Якщо знову має місце суттєва відмінність від попереднього значення (тобто від попередньої корекції), то проводять ще одну корекцію і так далі. Однак, при використанні методу Мілна, дуже часто обмежуються лише одним етапом корекції.

Нехай потрібно знайти розв'язок задічі Коші:

Метод Мілна

Для цього, виберемо деякий крок Метод Мілна, і покладемо:

Метод Мілна

Далі, виходячи з того, що для знаходження значення Метод Мілна метод Мілна використовує інформацію з чотирьох попередніх точок Метод Мілна, знаходимо їх використовуючи початкову умову та будь-який з однокрокових методів (метод Ейлера, методо Рунге-Кутта).

Читати повністю

Мінімізація функції багатьох змінних використовуючи метод Ньютона (метод Ньютона на Delphi)

Програма призначена для знаходження точки мінімуму функцій декількох змінних, тобто для мінімізації цих функцій. У програмі реалізовано один з методів, який відноситься до методів другого порядку — метод Ньютона. Даний метод при пошуку мінімуму використовує інформацію про функцію та її похідні до другого порядку включно. Детально розглядати теоретичну частину методу Ньютона в даному параграфі не будемо, її можна знайти за посиланням мінімізація функції багатьох змінних використовуючи методом Ньютона. Розглянемо лише delphi-проект, який реалізує алгоритм даного методу.

Програма на вході приймає функцію, для якої необхідно знайти мінімальне значення, список змінних, від яких залежить функція та початкове наближення. Тобто, якщо нам необхідно мінімізувати функцію Мінімізація функції методом Ньютона на Delphi, нам необхідно у відповідні поля головної форми проекту ввести наступні дані:

  1. У поле «Функція» — X*X+Y*Y-16.
  2. У поле «Список змінних» — X;Y.
  3. У поле «Початкове значення» — 0;0.

Після того, як всі поля заповнено, головна форма набуде наступного вигляду:

Читати повністю

« Попередня сторінкаНаступна сторінка »