Мітки: метод січних

Знаходження наближеного розв’язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом хорд

Алгоритм Ньютона-Рафсона, при знаходженні розв’язку нелінійного рівняння, вимагає обчислення функції та її похідної на кожній ітерації. Якщо вони є складними виразами, то знадобиться чимало зусиль, щоб зробити ручні обчислення або велика кількість процесорного часу для машинних розрахунків. Проте, якщо в методі дотичних похідну замінити її дискретним аналогом – розділеною різницею першого порядку, то, таким чином, можна значно зменшити його обчислювальні витрати. Саме така ідея і закладена у розглядуваному в даному параграфі методі, який носить назву метод хорд. У літературі він також зустрічається під методом січних. Це звязано з тим, що процес заміни похідної розділеною різницею рівносильний заміні дотичної на січну.

Отже, нехай задано нелінійне рівняння Метод хорд, де Метод хорд на відрізку має неперервні похідні першого і другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку. Тоді, ідея методу хорд полягає в тому, що на достатньо малому відрізку  дугу кривої замінюють хордою і за наближений розв’язок нелінійного рівняння береться точка перетину даної хорди з віссю абсцис.

Вивдемо розрахункові формули методу, і для початку, розглянемо випадок, коли перша і друга похідні мають однакові знаки, тобто Метод хорд:

Метод хорд

Графічне представлення методу хорд для випадку, коли f'(x)*f”(x)>0

Отже, виходячи з того, що рівняння хорди – це рівняння прямої, що проходить через дві точки Метод хорд і Метод хорд, то, на першому кроці, запишемо рівняння даної прямої:

Читати далі