Розв'язок системи двох нелінійних рівнянь методом послідовних наближень в Delphi

На відміну від систем лінійних рівнянь, для систем нелінійних рівнянь не існує прямих методів для їх розв'язку. Тому розв'язок систем нелінійних рівнянь зазвичай здійснюється ітераційними чисельними методами, основна ідея яких полягає у тому, щоб за допомогою послідовних наближень отримати шуканий розв'язок з заданою точністю.

Розглянемо програму, яка знаходить розв'язок системи двох нелінійних рівнянь використовуючи для цього метод простої ітерації (метод послідовних наближень). В основу даного методу покладено процес заміни вхідної системи, дещо іншою, еквівалентною системою. Після чого, вибравши початкове наближення, отримуємо послідовність точок, яка збігається до розв'язку системи з заданою точністю. Зауважимо, що початкове наближення найзручніше визначати графічно, тобто побудувавши графік для кожного рівняння системи, за початкове наближення  беруть приблизні координати точки їх перетину.

Інтерфейс програми, яка реалізує розв'язок системи двох нелінійних рівнянь за методом ітерацій

Інтерфейс програми, яка реалізує розв'язок системи двох нелінійних рівнянь за методом ітерацій

Читати повністю

Розв'язок системи нелінійних рівнянь методом итерації (послідовних наближень)

Для розв'язку систем нелінйних рівнянь можна також використовувати і метод простої ітерації (послідовних наближень). Процес збіжність даного методу, на відміну від методу Ньютона, є набагато повільнішим, проте він не вимагає, на кожній ітерації, знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Для простоти, розглянемо систему, яка складається з двох нелінійних рівнянь:

Розв'язок системи рівнянь методом Ітерацій

Згідно методу ітерації, систему (1) потрібно замінити рівносильною їй системою, наступного виду:

metod_iteracii_sust_nelin_rivn2

Припустимо, що розв'язок систем (2) міститься на деякому замкнутому прямокутнику Розв'язок системи рівнянь методом Ітерацій, і при чому він є єдиним (metod_iteracii_sust_nelin_rivn4). Вибравши в якості початкового наближення довільну точку metod_iteracii_sust_nelin_rivn5, і використавши формули:

Читати повністю

Знаходження розв'язку нелінійного рівняння методом простої ітерації засобами Delphi

Програма знаходить розв'язок нелінійного алгебраїчного рівняння Метод ітерації на Delphi використовуючи метод простої ітерації. Основна ідея даного методу полягає у заміні рівняння Метод ітерації на Delphi, на рівносильне йому рівняння виду Метод ітерації на Delphi. Після цього, задавши початкове наближення Метод ітерації на Delphi і підставивши його у остання рівняння, отримуємо послідовність точок Метод ітерації на Delphi, яка збігається до шуканого розв'язку з заданою точністю. Даний процес припиняється в тому випадку, коли модуль різниця між двома наближеннями Метод ітерації на Delphi та Метод ітерації на Delphi не стане меншою деякого числа Метод ітерації на Delphi(Метод ітерації на Delphi).

Результатом роботи програми є вивівд наближеного значення, отриманого на кожній ітерації, та графічне представлення процесу відшукання кореня за методом ітерації.

Метод ітерації на Delphi

Інтерфейс програми, яка знаходить розв'язок нелінійного алгебраїчного рівняння методом простої ітерації

Читати повністю