Розв'язок нелінійних рівнянь інтерполяційними методами в середовищі програмування delphi

Програма знаходить наближений розв'язок нелінійного рівняння на заданому інтервалі з заданою точністю і використовує для цього два методи, які відносяться до категорії інтерполяційних, а саме інтерполяційний метод першого порядку та інтерполяційний метод другого порядку (теоретична частина по даних методах міститься за посиланням Використання інтерполяційних методів для ровз'язку нелінійних рівнянь). Візуально, головна форма розглядуваного delphi-проекту не відрізняється від проектів, які реалізують інші чисельні методи рішення даної проблеми, тобто ділиться на дві частини:

  1. Панель інструментів: містить чотири поля типу TEdit, два з яких відповідають за значення кінців проміжоку на якому міститься корінь рівняння і два що залишилось, відповідають за точність обчислювального процесу та функцію, що міститься в лівій частині розв'язуваного рівняння; дві кнопки типу TButton одна з яких безпосередньо реалізує алгоритми інтерполяційних методів та друга — видаляє всі введені користувачем значення і готує проект до нового прикладу; один компонент типу StringGrid, у комірки якого містять заносяться точки послідовного наближення до розв'язку, та кількість ітерацій необхідних для досягнення заданої точності обох методів.
  2. Область графічного представлення: містить два компоненти типу TChart на кожному з яких представлено графіка функції а також вище згадувані точки послідовного наближення.

Читати повністю

Використання інтерполяційних методів для ровз'язку нелінійних рівнянь

Ідея інтерполяційних методів полягає в тому, що задача знаходження коренів рівняння на проміжку , замінюється задачею знаходження коренів інтерполяційного полінома , побудованого для функції .

Розглянемо випадок, коли для  будується інтерполяційний поліном першого порядку  — інтерполяційний метод першого порядку. Припустимо, що нам відомі наближення і до кореня рівняння (1) (відмітимо, що в якості нульового і першого наближень зазвичай беруться наступні знаення або , де  — достатньо мале число). Вибравши їх в якості вузлів інтерполяції, побудуємо для функції  інтерполяційний поліном у формі Ньютона для нерівновіддалених значень аргументу:

де  — розділена різниця першого порядку. Замінюючи в рівнянні (1) функцію  інтерполяційним поліномом (2), одержимо лінійне рівняння . Приймаючи його розв'язок за нове наближення, приходимо до інтерполяційного методу першого порядку:

Відмітимо, що процес знаходження розв'язку рівняння (1) згідно інтерполяційного методу першого порядку, як і будь-якого іншого методу рішення задач такого типу, необхідно продовжувати до тих пір, поки модуль різниці між двома сусідніми значеннями наближень не стане меншим за деяке число , тобто .

Читати повністю

Чисельне інтегрування довільної функції методом Сімпсона (парабол)

Програма знаходить розв'язок визначеного інтеграла використовуючи метод Сімпсона (також відомий як метод парабол). В основу даного методу закладено наступну ідею: взявши три точки проміжку інтегрування, підінтегральну функцію можна замінити параболою. В якості таких точок використовують кінці відрізка і його середню точку.

Програма розуміє круглі дужки, знаки арифметичних операцій * + — /, знак піднесення до степені ^ і наступні математичні функції: Abs(), Sqr(), Sqrt(), Exp(), Ln(), Sin(), Cos(), Tan(), ArcTan().

Особливістю програми є наявність  компілятора, завдяки чому можлива обробка будь-якої функції, введеної в програму користувачем, і її зміна в процесі виконання програми. В результаті роботи програми формується графік, побудований з використанням компонента TImage.

Знаходження розв'язку визначеного інтеграла за методом Сімпсона Приклад №1

Знаходження розв'язку визначеного інтеграла за методом Сімпсона Приклад №1

Читати повністю