Знаходження наближеного розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом дотичних

Багато проблем в математиці, науці, техніці та бізнесі, в кінцевому підсумку, зводяться до відшукання коренів нелінійного рівняння. Сумним є той факт, що більшість з цих математичних рівнянь не можуть бути вирішені аналітично. Ви вже знаєте про формулу для розв'язку квадратичних поліноміальних рівнянь. Однак ви можете не знати, що існують формули для рішення рівнянь третьої та четвертої степені. На жаль, ці формули настільки громіздкі, що майже ніколи не використовуються. Для рівнянь бульш високої степені таких формул взагалі не існує. Крім того, якщо рівняння містять тригонометричні функції, то, в такому випадку, ще простіше знайти рівняння, які не мають аналітичних рішень. Наприклад, наступне просте рівняння не може бути розв'язане, щоб дати формулу для .

Необхідність розв'язку нелінійних рівнянь, які не можуть бути вирішені аналітично, привела до розвитку чисельних методів. Один з найбільш часто використовуваних чисельних методів називається методом Ньютона або методом Ньютона-Рафсона. Ідея даного методу відносно проста. Припустимо, що розглядається нелінійне рівняння виду Метод дотичних, де Метод дотичних — функція неперевна на відрізку Метод дотичних і має на даному відрізку, відмінні від нуля, похідні першого і другого порядків. Тоді, ідея методу Ньютона полягає в тому, що на кожній ітерації графік функції Метод дотичних замінюється дотичною (звідки інша назва цього методу — метод дотичних) і точку перетину кожної з цих дотичних з віссю абсцис приймають за чергове наближення до шуканого кореня.

Читати повністю