Розв'язок системи двох нелінійних рівнянь методом Ньютона в Delphi

Програма знаходить розв'язок системи з двох нелінійних рівнянь використовуючи метод Ньютона. Використання даного методу зводиться до відшукання розв'язків сукупності систем лінійних алгебраїчних рівнянь і використання їх, в подальшому, для знаходження наступного наближення. Однак для забезпечення збіжності методу Ньютона до шуканого рішення необхідно вдало вибрати початкове наближення. Для цього в програмі передбачено можливість побудови графіка функцій. Скориставшись якою можна визначити приблизні координати точки перетину графіків, та вибрати їх в якості початкового наближення.

Також слід відмітити, що дана програма не являється універсальною, тобто знаходить розв'язок заданої системи нелінійних рівнянь. Проте, якщо винекне необхідність у розв'язку дещо іншої системи, потрібно внести відповідні зміни в програмний код проекту.

Розв'язок систем рівнянь методом Ньютона

Інтерфейс програми, яка реалізує розв'язок системи двох нелінійних рівнянь методом Ньютона

Читати повністю

Метод Ньютона для розв'язку системи двох нелінійних рівнянь

Розглянимо систему, яка складається з двох рівнянь, серед яких є хоча б одне нелінійне:

Метод Ньютона

де Метод Ньютона та Метод Ньютона неперервні та диференційовні функції. Розв'язок даної системи будемо шукати використовуючи метод Ньютона. Для цього, припустимо, що нам вже відоме Метод Ньютона-е наближення Метод Ньютонадля невідомих Метод Ньютона та Метод Ньютона. Більш точне наближення Метод Ньютона, згідно методу Ньютона, можна отримати наступним чином. Покладемо Метод Ньютона і підставимо дані значенняч у систему (1). В результаті отримаємо:

Метод Ньютона

Далі, розклавши функції Метод Ньютона та Метод Ньютона в околі точки з координатами Метод Ньютона у ряд Тейлора, та обмежившись лише лінійними членами відносно Метод Ньютона та Метод Ньютона, будемо мати:

Читати повністю

Скачати комбінований метод хорд та дотичних на Delphi(1)

Характерною особливість методу дотичних та хорд є те, що послідовності їх наближень монотонні. Причому, якщо для деякого рівняння послідовність наближень отримана з допомогою методу хорд є монотонно спадна, то послідовність наближень отримана за методом дотичних — монотонно зростаюча, і навпаки. Одночасне застосування цих методів дає змогу наближатися до шуканого кореня рівняння з двох боків, дістаючи наближення з недостачею та надлишком.

Розглянемо рівняння виду Комбінований метод на Delphi, для якого будемо шукати наближене значення кореня на відрізку [-2;2] з заданою точністю Комбінований метод хорд та дотичних, використовуючи для цього Delphi програму, яка для рішення даної проблеми використовує комбінований метод, основна ідея якого полягає у одночасному використанні методу хорд і дотичних. (зауважимо, що рівняння можна поміняти на своє виконавши відповідні зміни в тексті програми).

Інтерфейс програми, яка реалізує комбінований метод хорд та дотичних

Інтерфейс програми, яка реалізує комбінований метод хорд та дотичних

Читати повністю

Використання комбінованого методу хорд та дотичних для знаходження розв'язку нелінійного рівняння

Метод хорд та дотичних дають близьке до кореня значення з різних боків. Тому, з метою пришвидшити процес відшукання кореня їх часто використовують у поєднанні.

Нехай маємо рівняння Комбінований метод хорд та дотичних корінь якого знаходиться на відрізку kombinovanuj_metod2. При знаходженні розв'язку даного рівняння за комбінованим методом можливі два випадки:

1. Якщо kombinovanuj_metod3, то з лівого кінця відрізку kombinovanuj_metod2 шукають корінь за методом хорд, а з правого кінця - за методом дотичних. В результаті отримуємо наступні розрахункові формули.

kombinovanuj_metod4

kombinovanuj_metod9

Графічна інтерпритація першого випадку комбінованого методу

Читати повністю

Знаходження наближеного розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом дотичних засобами Delphi

Нехай дано рівняння Метод дотичних для якого потрібно знайти наближене значення кореня на відрізку [-2;2] методом дотичних з заданою точністю Метод дотичних (розрахункові формули для обчислення кореня за методом Ньютона містяться за посиланням - Знаходження наближеного розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом дотичних). Розглянемо Delphi програму, з допомогою якої знаходимо шуканий розв'язок (зауважимо, що рівняння можна поміняти на своє виконавши відповідні зміни в тексті програми).

Читати повністю

Знаходження наближеного розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом дотичних

Нехай дано рівняння Метод дотичних, де  Метод дотичних — функція неперевна на відрізку Метод дотичних і має на даному відрізку похідні першого і другого порядків відмінні від нуля. Для даного рівняння необхідно знайти чисельний розв'язок використовуючи метод дотичних.

Ідея даного методу полягає в тому, що ми послідовно будуємо дотичні до графіка функції і таким чином знаходити наближений розв'язок даного рівняння.

Першу дотичну проводимо через точку Метод дотичних — кінець відрізка, для якого виконується умова Метод дотичних. В результаті вона перетне вісь ОХ в деякій точці Метод дотичних. Далі знаходимо значення функції Метод дотичних і в знайденій точці знову будуємо дотичну і так далі проводимо даний процес. В результаті отримаємо послідовність значень Метод дотичних яка збігається до точного розв'язку рівняння Метод дотичних.

Читати повністю