Застосування методу Крилова для знаходження власних векторів матриці

Метод Крилова, як і метод Данилевського, дає можливість достатньо просто знайти власні вектора матриці, якщо коефіцієнти характеристичного полінома та його коріння визначені. Продемонструємо це і для простоти обмежимося випадком, коли характеристичний многочлен  матриці , має різні корені .

Отже, нехай  — вектори, використовувані в методі Крилова для знаходження коефіцієнтів . Розкладаючи вектор за власними векторами матриці отримаємо:

Де  — деякі коефіцієнти.

Звідси, враховуючи, що , отримаємо:

Нехай,  — довільна система многочленів. Тоді, складаючи лінійну комбінацію векторів з коефіцієнтами з (3) та в силу співвідношень (1) і (2), знаходимо:

Читати повністю

Програмна реалізація методу Крилова на Delphi для знаходження власних значень матриці

Процес відшукання власних значень матриці при використанні методу Крилова, як і у методі Данилевського, зводиться до визначення коефіцієнтів характеристичного многочлена і в подальшому визначення його коренів. Для цього, згідно алгоритму, необхідно знайти розв'язок системи лінійних рівнянь, який і міститиме шукані значення коефіцієнтів. Після того, як коефіцієнти відомі, необхідно знайти корені нелінійного рівняння (характеристичного многочлена) і таким чином визначити шукані власні значення матриці.

Метод Крилова на Delphi

Інтерфейс програми, яка використовуючи алгоритм методу Крилова знаходить власні значення матриці

Відмітимо, що програма для знаходження розв'язоку системи лінійних рівнянь використовує метод Гаусса, а для розв'язку нелінійного рівняння — метод хорд.

Читати повністю

Знаходження власних значень матриці за методом Крилова

Розглянемо метод призначений для знаходження власних значень матриці, алгоритм якого дещо відрізняється від методу Данилевського. Нехай Метод Крилова характеристичний многочлен матриці Метод Крилова. Виходячи з того, що всяка матриця перетворює в нуль свій характеристичний многочлен, будемо мати Метод Крилова.

Візьмемо тепер довільний ненульовий вектор Метод Крилова, розмірність якого співпадає з розмірністю матриці Метод Крилова і помножимо обидві частини рівності (1) з правої сторони на даний вектор, отримаємо: Метод Крилова.

Поклавши Метод Крилова рівність (2) можна переписати в наступному вигляді: Метод Крилова, або

Метод Крилова

Читати повністю