Задача оберненого інтерполювання для випадку рівновіддалених вузлів

Нехай функція задана таблично. Задача оберненого інтерполювання полягає в тому, щоб по заданому значенню функції визначити відповідне значення аргумента . Розглянемо даний алгоритм більш детально, для випадок рівновіддалених вузлів, в якому зазвичай використовується метотод послідовних наближень.

Припустимо, що функція монотонна і її значення , для якого необхідно визначити значення аргументу міститься між та . Замінюючи функцію  першим інтерполяційним многочленом Ньютона, будемо мати:

звідси , де .

Далі, взявши за початкове наближення , для останнього рівняння застосуємо метод простої ітерації. В результаті отримаємо:

Читати повністю

Розв'язок системи нелінійних рівнянь методом итерації (послідовних наближень)

Для розв'язку систем нелінйних рівнянь можна також використовувати і метод простої ітерації (послідовних наближень). Процес збіжність даного методу, на відміну від методу Ньютона, є набагато повільнішим, проте він не вимагає, на кожній ітерації, знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Для простоти, розглянемо систему, яка складається з двох нелінійних рівнянь:

Розв'язок системи рівнянь методом Ітерацій

Згідно методу ітерації, систему (1) потрібно замінити рівносильною їй системою, наступного виду:

metod_iteracii_sust_nelin_rivn2

Припустимо, що розв'язок систем (2) міститься на деякому замкнутому прямокутнику Розв'язок системи рівнянь методом Ітерацій, і при чому він є єдиним (metod_iteracii_sust_nelin_rivn4). Вибравши в якості початкового наближення довільну точку metod_iteracii_sust_nelin_rivn5, і використавши формули:

Читати повністю

Знаходження розв'язку нелінійного рівняння методом простої ітерації засобами Delphi

Програма знаходить розв'язок нелінійного алгебраїчного рівняння Метод ітерації на Delphi використовуючи метод простої ітерації. Основна ідея даного методу полягає у заміні рівняння Метод ітерації на Delphi, на рівносильне йому рівняння виду Метод ітерації на Delphi. Після цього, задавши початкове наближення Метод ітерації на Delphi і підставивши його у остання рівняння, отримуємо послідовність точок Метод ітерації на Delphi, яка збігається до шуканого розв'язку з заданою точністю. Даний процес припиняється в тому випадку, коли модуль різниця між двома наближеннями Метод ітерації на Delphi та Метод ітерації на Delphi не стане меншою деякого числа Метод ітерації на Delphi(Метод ітерації на Delphi).

Результатом роботи програми є вивівд наближеного значення, отриманого на кожній ітерації, та графічне представлення процесу відшукання кореня за методом ітерації.

Метод ітерації на Delphi

Інтерфейс програми, яка знаходить розв'язок нелінійного алгебраїчного рівняння методом простої ітерації

Читати повністю

Метод простої ітерації для розв'язання одного нелінійного рівняння

Метод простої ітерації (також відомий як метод послідовних наближень) є одним з найбільш важливих способів чисельного розв'язання рівняня. Основна ідея даного методу полягає в тому, що ми замінюємо рівняння Метод ітераціїрівносильним йому рівнянням виду:

Метод ітерації

При цьому вважаємо, що Метод ітерації є неперервною на проміжку Метод ітерації.

Оберемо, довільним чином, наближене значення кореня Метод ітерації і підставимо його в праву частину рівняння (1) . Тоді отримаємо число:

Метод ітерації

Підставивши, тепер в праву частину рівняння (2) замість Метод ітераціїчисло metod_iteracii_nelin_rivn7, отримаємо нове число Метод ітерації і так далі продовжуємо даний процес. В результаті отримаємо послідовність чисел:

Метод ітерації

Якщо отримана послідовність збіжна, тобто існує Метод ітерації, то переходячи до границі в рівнянні (3) отримаємо:

Метод ітерації або Метод ітерації,

тобто границя Метод ітераціїє коренем рівняння (1) з довільним степенем точності.

Читати повністю