Розв'язок СЛАР методом Жордана-Гаусса в середовищі програмування Delphi

Програма знаходить рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь довільній розмірності методом Жордана-Гаусса. В основу алгоритму даного методу покладено ідею приведення матриці коефіцієнтів до діагонального вигляду. Слід зазначити, що перетворення, які здійснюються для приведення матриці коефіцієнтів до такого вигляду, необхідно проводити і для елементів стовпця вільних членів. В результаті виконання даного алгоритму, елементи стовпця вільних членів міститимуть значення, які являтимуться шуканим розв'язком системи. Більш детальну інформацію про метод Жордана-Гаусса можна знайти за посиланням розв'язок СЛАР методом Жордана-Гаусса.

Після запуску програми перед Вами з'явитися робоче вікно програми, в якому, на сам перед, необхідно вказа розмірність системи (оскільки система розміру n на n потрібно ввести тільки одне число).

Метод Жордана-Гаусса на Delphi

Інтерфейс програми, яка для розв'язку СЛАР використовує алгоритм методу Жордана-Гаусса

Далі, заповнюємо матрицю коефіцієнтів та стовпець вільних членів (зображені у вигляді компонентів TStringGrid) відповідними даними, вибираємо модифікацію методу Жордана-Гагусса, після чого натискаємо кнопку "Розв'язати систему рівнянь".

Читати повністю

Метод Жордана-Гаусса. Розв'язок систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса являється однією з модифікацій методу Гаусса і знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь з допомогою даного методу зводиться до перетворення вихідної системи до системи з одиничною або діагональною матрицею. Тобто основна відмінність між методом Гаусса і методом Жордана-Гаусса полягає в тому, що при реалізації останнього, елементи матриці обнулюються як під, так і над головною діагоналлю, а значення діагональних елементів стають рівними одиниці. В результаті даного перетворення елементи вектора вільних членів являтимуться шуканим розв'язком системи.

Розглянемо даний метод більш детально. Для цього запишемо систему лінійних рівнянь наступного вигляду:

метод Жордана-Гаусса

Обчислювальна схема методу Жордана-Гаусса складається з Метод Жордана-Гаусса циклів, в кожному з яких послідовно з допомогою Метод Жордана-Гаусса-го рядка виключаються елементи при невідомій Метод Жордана-Гаусса в кожному рядку матриці коефіцієнтів, крім Метод Жордана-Гаусса-го. Дана схема реалізується з допомогою наступних кроків:

Читати повністю

Знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод Гаусса з вибором головного елемента в середовищі програмування Delphi

Знаходження розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь являється однією з основних задач лінійної алгебри, а метод Гаусса (також називають методом послідовного виключення невідомих) — одним з найпоширеніших методів для рішення систем такого виду. Даний метод відомий в різних модифікаціях, серед яких виділяють метод Гаусса з вибором головного елемента.

Метод головних елементів також заснований на приведенні матриці системи до трикутного вигляду. Проте, на відміну від класичного методу Гаусса, в методі головних елементів алгоритм приведення матриці до такого вигляду дещо відрізняється. На прершому кроці, серед елементів матриці системи вибираємо максимальний за модулем елемент, який не належить стовпчику вільних членів. Нехай це буде елемент, який знаходиться в i-му рядку та j-й колонці (головний елемент). Далі, виключаємо з усіх рівнянь системи крім рівняння під номером i, невідому Xj. В результаті отримуємо матрицю, j-й стовпець якої складається з нульових елементів. Викрисливши з розгляду рядок і колонку в яких міститься головний елемен переходимо до нової матриці, яка складається з меншої на одиницю кількості рядків і колонок.

Читати повністю

Метод Гаусса з вибором головного елемента

Нехай дана система лінійних рівнянь виду (1), для якої потрібно знайти чисельний розв'язок:

Метод Гаусса з вибором ведучого елемента

Розглянемо розширену прямокутну матрицю, що складається з коєфіціентов системи (1) та її вільних членів:

Метод Гаусса з вибором головного елемента

Для даної матриці, згідно алгоритму методу Гаусса з вибором головного елемента, виберемо ненульовий, як правило, найбільший за модулем елемент, який не належить стовпцю вільних членів, тобто Метод Гаусса з вибором головного елемента. Нехай це буде елемент Метод Гаусса з вибором головного елемента (даний елемент також називають головним елементом). Далі, для кожного рядка матриці (2), крім рядка під номером Метод Гаусса з вибором головного елемента, обчислюємо множники:

Читати повністю

Розв'язок системи двох нелінійних рівнянь методом послідовних наближень в Delphi

На відміну від систем лінійних рівнянь, для систем нелінійних рівнянь не існує прямих методів для їх розв'язку. Тому розв'язок систем нелінійних рівнянь зазвичай здійснюється ітераційними чисельними методами, основна ідея яких полягає у тому, щоб за допомогою послідовних наближень отримати шуканий розв'язок з заданою точністю.

Розглянемо програму, яка знаходить розв'язок системи двох нелінійних рівнянь використовуючи для цього метод простої ітерації (метод послідовних наближень). В основу даного методу покладено процес заміни вхідної системи, дещо іншою, еквівалентною системою. Після чого, вибравши початкове наближення, отримуємо послідовність точок, яка збігається до розв'язку системи з заданою точністю. Зауважимо, що початкове наближення найзручніше визначати графічно, тобто побудувавши графік для кожного рівняння системи, за початкове наближення  беруть приблизні координати точки їх перетину.

Інтерфейс програми, яка реалізує розв'язок системи двох нелінійних рівнянь за методом ітерацій

Інтерфейс програми, яка реалізує розв'язок системи двох нелінійних рівнянь за методом ітерацій

Читати повністю

Розв'язок системи двох нелінійних рівнянь методом Ньютона в Delphi

Програма знаходить розв'язок системи з двох нелінійних рівнянь використовуючи метод Ньютона. Використання даного методу зводиться до відшукання розв'язків сукупності систем лінійних алгебраїчних рівнянь і використання їх, в подальшому, для знаходження наступного наближення. Однак для забезпечення збіжності методу Ньютона до шуканого рішення необхідно вдало вибрати початкове наближення. Для цього в програмі передбачено можливість побудови графіка функцій. Скориставшись якою можна визначити приблизні координати точки перетину графіків, та вибрати їх в якості початкового наближення.

Також слід відмітити, що дана програма не являється універсальною, тобто знаходить розв'язок заданої системи нелінійних рівнянь. Проте, якщо винекне необхідність у розв'язку дещо іншої системи, потрібно внести відповідні зміни в програмний код проекту.

Розв'язок систем рівнянь методом Ньютона

Інтерфейс програми, яка реалізує розв'язок системи двох нелінійних рівнянь методом Ньютона

Читати повністю

Знаходження оберненої матриці методом Гаусса на Delphi

В математиці існує декілька способів знаходження оберненої матриці (за методом розв'язку відповідних СЛАРза методом Гаусса). Програмну реалізацію першого способу Ви можете знайти перейшовши на сторінку http://www.mathros.net.ua/?p=1257.  Сьогодні розглянемо програмну реалізацію другого,  тобто будемо шукати обернену матрицю за методом Гаусса, який відносять до точних чисельних методів.

Візьмемо дві матриці: A для якої потрібно знайти обернену, і одиничну матрицю, розмірність якої співпадає з розмірністю матриці А. Використовуючи метод Гаусса приведемо матрицю А до одиничної. Після застосування кожної операції до матриці А, потрібно застосувати ту ж операцію і до матриці Е. Якщо процес приведення заданої матриці до одиничноъ буде завершено, елементи матриці Е будуть рівні елементам оберненої.

Читати повністю

Наступна сторінка »