Скачати комбінований метод хорд та дотичних на Delphi(1)

Характерною особливість методу дотичних та хорд є те, що послідовності їх наближень монотонні. Причому, якщо для деякого рівняння послідовність наближень отримана з допомогою методу хорд є монотонно спадна, то послідовність наближень отримана за методом дотичних — монотонно зростаюча, і навпаки. Одночасне застосування цих методів дає змогу наближатися до шуканого кореня рівняння з двох боків, дістаючи наближення з недостачею та надлишком.

Розглянемо рівняння виду Комбінований метод на Delphi, для якого будемо шукати наближене значення кореня на відрізку [-2;2] з заданою точністю Комбінований метод хорд та дотичних, використовуючи для цього Delphi програму, яка для рішення даної проблеми використовує комбінований метод, основна ідея якого полягає у одночасному використанні методу хорд і дотичних. (зауважимо, що рівняння можна поміняти на своє виконавши відповідні зміни в тексті програми).

Інтерфейс програми, яка реалізує комбінований метод хорд та дотичних

Інтерфейс програми, яка реалізує комбінований метод хорд та дотичних

Читати повністю

Використання комбінованого методу хорд та дотичних для знаходження розв'язку нелінійного рівняння

Метод хорд та дотичних дають близьке до кореня значення з різних боків. Тому, з метою пришвидшити процес відшукання кореня їх часто використовують у поєднанні.

Нехай маємо рівняння Комбінований метод хорд та дотичних корінь якого знаходиться на відрізку kombinovanuj_metod2. При знаходженні розв'язку даного рівняння за комбінованим методом можливі два випадки:

1. Якщо kombinovanuj_metod3, то з лівого кінця відрізку kombinovanuj_metod2 шукають корінь за методом хорд, а з правого кінця - за методом дотичних. В результаті отримуємо наступні розрахункові формули.

kombinovanuj_metod4

kombinovanuj_metod9

Графічна інтерпритація першого випадку комбінованого методу

Читати повністю

Знаходження розв'язку довільного рівняння використовуючи метод дотичних

Метод дотичних (також відомий як метод Ньютона) відноситься до ітераційних чисельних методів призначених для знаходження розв'язку заданого рівняння. Суть даного методу полягає у виборі точки початкового наближення. Після чого в даній точці будується дотична до графіка функції і в результаті отримуємо нове наближення (точка перетину дотичної з віссю координат). Даний процес продовжують до тих пір, поки різниця між k-м і k+1-м наближеннями не досягне заданої точності, тобто не буде дорівнювати достатньо малому числу.

Головна форма програми «Метод дотичних» ділиться на дві частини. Ліва частина містить панель, на якій розміщенні компоненти TEdit в які користувач повинен вказати необхідні для розв'язку дані: проміжок на якому шукаємо корені і саме рівняння. Після чого натиснути кнопку «Розв'язати рівняння». Права частина мість компонент TImage, на якомі будується графік та точки  послідовного наближення до шуканого розв'язку.

Результатом роботи програми є корінь рівняння і кількість кроків , які потрібні були для досягнення даної точності.

Читати повністю

Розв'язок нелінійного рівняння методом дотичних (реалізація в середовищі Delphi)

Метод Ньютона, іменований також методом Ньютона-Рафсона або методом дотичних, являє собою один з найбільш відомих і використовуваних способів рішення нелінійних рівнянь. Основна ідея даного методу полягає в наступному: на першому кроці здається початкове наближення . Далі, в точці , до кривої проводиться дотична, тобто крива замінюється прямою лінією. Після цього, в якості наступного наближення, вибирається точка перетину цієї дотичної з віссю абсцис. Процес побудови дотичних і знаходження точок перетину з віссю абсцис повторюється до тих пір, поки модуль різниці між наступним і попереднім наближенням не стане меншим як завгодно малого наперед заданого числа .

Реалізація методу дотичних засобами Delphi наведена на рисунку що міститься нижче. Як приклад, шукається розв'язок нелінійного рівняння на проміжку , з точністю .

Метод дотичних delphi

Головне вікно delphi-проекту

Виходячи з того, що delphi-програма знаходить розв'язок лише заданої задачі, і алгоритм методу Ньютона, в даному випадку, виконується одноразова, то весь програмний код реалізовано на подію OnCreate() головної форми проекту. Тобто, для щоб знайти шукане рішення, достатньо запустити delphi-програму на виконання.

Читати повністю

Знаходження наближеного розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом дотичних

Багато проблем в математиці, науці, техніці та бізнесі, в кінцевому підсумку, зводяться до відшукання коренів нелінійного рівняння. Сумним є той факт, що більшість з цих математичних рівнянь не можуть бути вирішені аналітично. Ви вже знаєте про формулу для розв'язку квадратичних поліноміальних рівнянь. Однак ви можете не знати, що існують формули для рішення рівнянь третьої та четвертої степені. На жаль, ці формули настільки громіздкі, що майже ніколи не використовуються. Для рівнянь бульш високої степені таких формул взагалі не існує. Крім того, якщо рівняння містять тригонометричні функції, то, в такому випадку, ще простіше знайти рівняння, які не мають аналітичних рішень. Наприклад, наступне просте рівняння не може бути розв'язане, щоб дати формулу для .

Необхідність розв'язку нелінійних рівнянь, які не можуть бути вирішені аналітично, привела до розвитку чисельних методів. Один з найбільш часто використовуваних чисельних методів називається методом Ньютона або методом Ньютона-Рафсона. Ідея даного методу відносно проста. Припустимо, що розглядається нелінійне рівняння виду Метод дотичних, де Метод дотичних — функція неперевна на відрізку Метод дотичних і має на даному відрізку, відмінні від нуля, похідні першого і другого порядків. Тоді, ідея методу Ньютона полягає в тому, що на кожній ітерації графік функції Метод дотичних замінюється дотичною (звідки інша назва цього методу — метод дотичних) і точку перетину кожної з цих дотичних з віссю абсцис приймають за чергове наближення до шуканого кореня.

Читати повністю