Знаходження власних значень та власних векторів матриці методом вичерпування в середовищі delphi
Програма знаходить рішення задач на власні значення використовуючи для цього метод вичерпування. Основна ідея даного методу полягає у розв'язку послідовності задач на відшукання максимального по абсолютній величині власного значення та відповідного йому власного вектора деякої матриці. Тобто для знаходження, наприклад, другого власного значення, необхідно, щоб попереднеє власне значення та відповідний йому власний вектор, а також власний вектор транспонованої матриці, вже були відомими. Після цього, згідно алгоритму методу вичерпування, з допомогою даних величин та самої матриці 
формується деяка матриця 
(подібна до матриці ), максимальним по абсолютній величині власним значенням якої є шукане друге власне значення заданої матриці . Більш детальна інформація про даний метод міститься за посиланням Знаходження власних значень та власних векторів матриці методом вичерпування.
Рішення задач на власні значення методом вичерпування
Для визначення другого власного значення матриці та відповідного йому власного вектора можна скористатись ще одним способом, який називається методом вичерпування. Нехай маємо деяку матрицю 
, елементами якої є дійсні числа, і нехай власні значення даної матриці впорядковані наступним чином: 
.
Поряд з матрицею , розглянемо ще одну матрицю 
, де 
— перше власне значення матриці ; 
— відповідний власний вектор матриці , розглядуваний як матриця-стовпець; 
— власний ветор, явий відповідає власному значенню транспонованої матриці до , розглядуваний як матриця-рядок, причому вектори 
та 
нормовані таким чином, що їх скалярний добуток дорівнює одиниці:
Знаходження максимального по абсолютній величині власного значення матриці степеневий методом в середовищі програмування delphi
Програма знаходить максимальне по модулю власне число для матриці довільної розмірності з заданою точністю використовуючи степеневий методом та дві його модифікації (теоретична частина по данх методах міститься за посиланням знаходження власного значення матриці степеневий метод). Інтерфей розглядуваного delphi-проекту аналогічний проектам, які ми розглядали для розв'язку повної проблеми власних значень (метод Федеєва на delphi, метод Левер'є на delphi та інші), лише з одною відмінністю. В ньому передбачено можливість задати точність обчислень та вибрати модифікацію степеневого методу.
Інтерфейс delphi-проекту "Знаходження максимального по абсолютній величині власного значення матриці степеневий методом"
Для того, щоб знайти максимальне власне значення матриці, необхідно вказати відповідні значення та параметри в панелі задач (розмірність матриці, точність обчислень, модифікація методу), заповнити таблицю значеннями її елементів і натиснути кнопку «Знайти максимальне власне значення матриці».
Часткова проблема власних значень матриці. Степеневий метод
Нехай маємо деяку матрицю 
і нехай її власні значення впорядковані по абсолютній величині наступним чином: 
. Тоді, вибравши деякий вектор 
, наприклад, вектор, компоненти якого дорівнюють одиниці 
, для визначення 
можна побудувати наступний ітераційний процес:
де 
і 
— відповідні компоненти векторів 
та 
. При цьому в якості номера 
може використовуватися будь-яке число з діапазону 
.
Основні математичні операції над матрицями в середовищі програмування delphi
Програма написана в середовищі програмування delphi і призначена для виконання основних операцій над матрицями. Головне вікні програми складається з панелі задач (містить компонент типу TSpinEdit значення якого вказує на розмірність матриці), та робочої області, яка складається з компонента PageControl, кожна вкладка якого містять різні елементи управління та дозволяє виконати певну дію над заданими матрицями. Елементи матриць завантажуються для відображення на формі в компоненті StringGrid.
Інтерфейс delphi-проекту "Операції над матрицями"
Означення матриці. Основні операції над матрицями
Матрицею 
розмірності 
називається таблиця чисел, яка складається з 
рядків та 
стовпців.
Числа, що складають матрицю, називаються її елементами і нумеруються двома індексами, які вказують на номер рядка та стовпця на перетині яких розташований даний елемент. Тобто, елемент 
міститься в 
-му рядку та 
-му стовпці матриці .
Наприклад, для матриці 
, розмірності 
, елемент 
а елемент 
.
Програмна реалізація методу Крилова на Delphi для знаходження власних значень матриці
Процес відшукання власних значень матриці при використанні методу Крилова, як і у методі Данилевського, зводиться до визначення коефіцієнтів характеристичного многочлена і в подальшому визначення його коренів. Для цього, згідно алгоритму, необхідно знайти розв'язок системи лінійних рівнянь, який і міститиме шукані значення коефіцієнтів. Після того, як коефіцієнти відомі, необхідно знайти корені нелінійного рівняння (характеристичного многочлена) і таким чином визначити шукані власні значення матриці.
Інтерфейс програми, яка використовуючи алгоритм методу Крилова знаходить власні значення матриці
Відмітимо, що програма для знаходження розв'язоку системи лінійних рівнянь використовує метод Гаусса, а для розв'язку нелінійного рівняння — метод хорд.
Загрузка ...