Знаходження розв'язку задачі дробово-лінійного програмування шляхом зведення її до задачі лінійного програмування

Нехай, зновутаки, розглядається задача математичного програмування, яка полягає у відшуканні екстремального (мінімального чи максимального) значення функції мети:

при наступних обмеженнях:

Крім того, передбачається, що в області невід'ємних розв'язків системи рівнянь (2) має місце нерівність .

Відмітимо, що розглядуваний тип задач відноситься до класу задач дробово-лінійного програмування і які ми вже навчилися розв'язувати з допомогою графічного методу. Проте, графічний спосіб рішення задач такого типу (як і будь-якого іншого типу задач математичного програмування) являється не дуже універсальним, тобто використовується в тому випадку, коли кількість невідомих задачі не перевищує число два. Сьогодні розглянемо дещо інший спосіб, який можна вважати більш універсальним, і який базується на зведенні задач з дробово-лінійною цільовою функцією до задачі лінійного програмування і, в подальшому, розв'язку її будь-яким з відомих методів (симплекс методу, двоїстий симплекс метод, метод штучного базису).

Читати повністю

Розв'язок задачі дробово-лінійного програмування графічним методом

При розгляді теоретичної частини задачі дробово-лінійного програмування, а зокрема, при розгляді конкретної задачі такого типу, нами було анонсовано, що в подальшому дану задачу буде розв'язано з допомогою графічного методу та методу, який базується на зведенні задач з дробово-лінійною цільовою функцією до задачі лінійного програмування. Сьогодні розглянемо перший з них, але перш ніж приступити до розв'язку задачі, розглянемо алгоритм даного методу більш детально. Для цього, припустимо, що нам потрібно знайти максимальне (мінімальне) значення функції мети (де ):

при наступних обмеженнях:

Щоб знайти рішення задачі (1) — (3), спочатку, як і у випадку задачі лінійного програмування, знаходимо багатокутник рішень, який визначається обмеженнями (2) і (3). Припускаючи, що цей багатокутник не порожній, покладаємо значення функції (1) рівним деякому числу :

Читати повністю

Задача нелінійного програмування. Математична модель задачі нелінійного програмування

Досить детально розглянута в розділах, присв'ячених лінійному програмуваню, задача пошуку оптимальних обсягів виробництва грунтується на припущеннях про лінійність зв'язку між витратами ресурсів і обсягами виготовленої продукції; між ціною, рекламою та попитом тощо. Якщо такі зв'язки є нелінійними, то більш адекватні математичні моделі доцільно формулювати в термінах нелінійного програмування.

Нехай для деякої виробничої системи необхідно визначити план випуску продукції, за умови найкращого способу використання ресурсів системи. Відомі загальні запаси кожного ресурсу, норми витрат кожного ресурсу на одиницю продукції та ціна реалізації одиниці виготовленої продукції. Критерії оптимальності можуть бути різноманітними, наприклад максимізація виручки від реалізації продукції. Така умова подається лінійною залежністю загальної виручки від обсягів проданого товару та ціни одиниці продукції.

Однак, загально відомим є факт, що за умов ринкової конкуренції питання реалізації продукції є досить складним. Обсяг збуту кінцевої продукції визначається перш за все її ціною, отже в якості цільової функції доцільно розглядати максимізацію не всієї виготовленої, а лише реалізованої продукції. Тоді необхідно визначити також і оптимальне значення ціни одиниці продукції, при якій обсяг збуту буде максимальним. Для цього, її потрібно ввести в задачу як невідому величину, при цьому обмеження задачі мають враховувати зв'язки між ціною, рекламою та обсягами збутої продукції. Цільова функція міститиме добуток двох невідомих величин (оптимальна ціна одиниці продукції та оптимальна кількість відповідного виду продукції), а отже є нелінійною. Таким чином приходимо до задачі нелінійного програмування.

Читати повністю

Лінійне програмування. Постановка задачі лінійного програмування

Лінійне програмування має вигляд лінійної математичної моделі, яка складається з трьох частин:

  1. Функції мети для якої знаходимо оптимальне значення

    Задача лінійного програмування

    де Задача лінійного програмування — апибуток від реалізації однієї i-ї продукції, а Задача лінійного програмування — кількість даної продукції. Якщо в (1) змінити знаки коефіццієнтів Задача лінійного програмуванняна протилежні, то функція Задача лінійного програмування змінюється на Задача лінійного програмування і навпаки.

  2. Обмеження по запасу ресурсів:

    Задача лінійного програмування

    де Задача лінійного програмування — нориа витрат i-го ресурсу; Задача лінійного програмування — кількість продукції j-го виду, випуск одиниці якої потребує Задача лінійного програмування витрат, також слід зазначити, що виличина Задача лінійного програмування не повинна бути від'ємною; Задача лінійного програмування — запаси i-го ресурсу; i=1,...,m — порядковий номер ресурсу; j=1,...,n — порядковий номер продукції.

  3. Читати повністю

Задача цілочисельного програмування. Математична модель та методи розв'язку задачі цілочисельного програмування

Цілочисельне програмування — це розділ математичного програмування, який використовує змінні лише у цілочисельному вигляді. З математичної точки зору, задачі такого типу можуть бути лінійними або нелінійними. Розглянемо лінійну задачу цілочисельного програмування, для якого запишемо наступну математичну модуль:

Цілочисельне програмування

де Цілочисельне програмування — цілі числа. Виходячи з (1) бачимо, що зовнішній вигляд задачі лінійного цілочисельного програмування практично не відрізняється від задачі лінійного програмування, за вийнятком того, що на розв'язок задачі лінійного програмування накладається додаткове обмеження: визначення лише цілих значень змінних. Припустимо, що ми розв'язали деяку задачу лінійного програмування, не враховуючи вимогу цілочисельності, і отримали наступний многокутник розв'язків ABCDО.

Читати повністю

Задача комівояжера. Математична постановка задачі

Основна ідея задачі комівояжера полягає у наступному: комівояжер повинен проїхати n міст. Для того, щоб зменшити витрати, він повинен побудувати маршрут таким чином, щоб побувати в кожному місті по одному разу і повернутися у початкове.

Математична постановка задачі коміваяжера має наступний вигляд:

Задача комівояжерапри обмеженнях:

Задача комівояжера — обмеження на одноразовий виїзд з міста.

Задача комівояжера — обмеження на одноразовий в'їзд в місто.

де Задача комівояжера — матриця відстаней між усіма містами Задача комівояжера.

Читати повністю

Транспортна задача. Математична постановка задачі

Загальна постановка транспортної задачі полягає у визначенні оптимального плану перевезень деякого однорідного товару із M — пунктів відправлення (tz11) в N — пунктів призначення (tz-2). При цьому в якості критерію оптимальності беруть мінімальну вартість на перевезення всього товару обо мінімальний час його доставки.

Розглянемо транспортну задачу в якості критерію оптимальності якої взято мінімальну вартість перевезення. Позначимо через tz-3 — тарифи на перевезення одиниці товару з i-го пункту відправлення в j-й пункт призначення. Через tz-4 — запаси товару в i-му пункиі відправлення; tz-5 — потреби в товарі у j-му пункті призначення. Через tz-6 — кількістьі товару, який потрібно перевезти з i-го пункту відправлення в j-й пункт призначення. Тоді математична постановка задачі полягає у визначенні мінімального значення функції:

Читати повністю