Розв'язок систем лінійних рівнянь методом LU-факторизації (реалізація в середовищі Delphi)

Сучасна обчислювальна лінійна алгебра — наука, яка бурхливо розвивається. Однією з її центральна проблема є задача рішення систем лінійних рівнянь. Зазначимо, що в даний час розроблено безліч методів, що спрощують це завдання, які, зокрема, залежать від структури матриці системи. Більшість методів базуються на представленні матриці у вигляді добутку інших матриць спеціального виду, або на матричних розкладаннях (по іншому, факторизаціях). Як правило, після певного розкладу матриці, задача розв'язку лінійних систем істотно спрощується.

В даному параграфі, конспективно, не зупиняючись на розрахункових формулах, наведемо метод рішення систем лінійних рівнянь за допомогою представлення квадратної матриці у вигляді добутку нижньої та верхньої трикутних матриць, після чого, перейдемо до розгляду delphi-проекту, що його реалізує.

Отже, як уже зазначалося вище, основна ідея методу LU-розкладання — це подання матриці у вигляді добутку  (де  — нижня трикутна матриця з одиничною діагоналлю і  — верхня трикутна матриця). Відмітимо, що в такому випадку, початкова систему  записується у наступному вигляді: . Позначивши далі вектор через (), остання система набере вигляду , що свідчить про те, що процес знаходження вектора  за методом LU-факторизації зводиться до рішення двох систем лінійних рівняннь з трикутними матрицями коефіцієнтів: .

Читати повністю

Метод LU факторизації для розв'язування системи лінійних рівнянь

Ідея методу LU-факторизації, при знаходженні розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь, базується на наступному твердженні: будь-яку квадратну дійсну матрицю (матриця коефіцієнтів при невідомих системи) можна розкласти на дві трикутні — верхньотрикутну унімотарну матрицю (квадратна матриця, в якій всі елементи нижче за головну діагональ дорівнюють нулю, а елементи на головній діагоналі дорівнюють одиниці) та нижньотрикутну матрицю (квадратна матриця, в якій всі елементи вище за головну діагональ дорівнюють нулю) і таким чином спростити задачу відшукання коренів. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього, систему лінійних алгебраїчних рівнянь запишемо у матричній формі:

де квадратна матриця порядку і та  — вектори стовбці. Згідно з вище сказаним, матрицю коефіцієнтів  представимо у вигляді добутку нижньотрикутної матриці і верхньотрикутної матриці з одиничною діагоналлю, тобто , де

Читати повністю