Розв'язок СЛАР методом LU — факторизації в середовищі програмування Delphi

Алгоритм метод LU факторизації в основному використовується при знаходженні розв'язків систем лінійних алгебраїчних рівнянь виду Ax=b (1), обчисленні визначника, знаходженні оберненої матриці.

Сьогодні розглянемо програмну реалізації даного методу, з допомогою якої будемо знаходити розв'язок СЛАР. Отже, основна ідея даного методу — це подання матриці А у вигляді A=LU (L — нижня трикутна матриця з одиничною діагоналлю; U — верхня трикутна матриця). Тоді, рівняння  (1)можна записати у наступному вигляді: LUx=b (2). Припустимо, y=Ux, тоді рівняння (2) набуде виглядуLy=b. Звідси випливає, що шуканий вектор x можна знайти розв'язавши наступні рівняння: Ly=by=Ux (більш детальну інформацію ви зможете знайти перейшовши на сторінку Метод LU факторизації для розв'язування систем лінійних рівнянь).

Читати повністю

Метод LU факторизації для розв'язування системи лінійних рівнянь

Ідея методу LU-факторизації, при знаходженні розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь, базується на наступному твердженні: будь-яку квадратну дійсну матрицю (матриця коефіцієнтів при невідомих) можна розкласти на дві трикутні — верхньотрикутну унімотарну матрицю (квадратна матриця, в якій всі елементи нижче за головну діагональ дорівнюють нулю, а елементи на головній діагоналі дорівнюють одиниці) та нижньотрикутну матрицю (квадратна матриця, в якій всі елементи вище за головну діагональ дорівнюють нулю) і таким чином спростити процес відшукання коренів. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього, систему лінійних алгебраїчних рівнянь запишемо у матричній формі:

де квадратна матриця порядку і

вектори стовбці. Згідно вище сказаному, матрицю представимо у вигляді добутку нижньотрикутної матриці і верхньотрикутної матриці з одиничною діагоналлю, тобто , де

Читати повністю