Розв'язок алгебраїчних рівнянь методом послідовних наближень з використанням схеми Горнера
Для знаходження розв'язку алгебраїчних рівнянь степінь яких перевищує два можна також застосувати метод послідовних наближень з використанням схеми Горнера для ділення лівої частини рівняння на , де
— дійсний корінь рівняння. У методі послідовних наближень, що застосовуються при вирішенні рівнянь такого типу, відшукується послідовність чисел
, яка збігається до числа
, яке є коренем рівняння. Ми будемо вважати
хорошим наближенням до кореня
, якщо залишок від ділення лівої частини рівняння на
досить малий. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього в рівнянні
відбираємо три останніх члена і знаходимо розв'язок отриманого квадратного рівняння . Якщо корені цього рівняння дійсні, то перерходимо до рішення рівняння
, після чого, за перше наближення кореня рівняння (1) приймаємо розв'язок даного рівняння, тобто:
Схема ділення многочлена на квадратний тричлен
В темі Обчислення значення полінома використовуючи схему Горнера ми розглядали, яким чином використовуючи дану схему здійснювати ділення многочлена на двочлен
. Покажемо тепер зручну схему для поділу даного многочлена на тричлен виду
. Нехай:
Коефіцієнти , які містяться в правій частині рівності (2), знаходять за схемою аналогічною схемі Горнера. Тобто, розкривши дужки і зробивши приведення подібних членів, прирівнюють коефіцієнти при однакових степенях
у лівій і правій частинах. В результаті будемо мати: