Рівняння дотичної і нормалі до кривої
З курсу аналітичної геометрії відомо, що рівняння прямої, яка проходить через точку з кутовим коефіцієнтом, що дорівнює
, має наступний вигляд:
.
Дотична і нормаль до кривої
Дотична до кривої в точці
має кутовий коефіцієнт
. Отже, рівнянням дотичної буде:
Відзначимо, що коли дотична паралельна осі , то кут її нахилу
з додатним напрямком осі абсцис дорівнює нулю і тоді
. Якщо дотична в точці
паралельна осі
,то
і тоді
.
Механічний і геометричний зміст похідної
Як відомо, похідною функції в точці
називається границя відношення (якщо вона існує) приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:
Зазначимо, що рівність (1) можна записати і в дещо іншому вигляді:
тобто похідна функції в точці
дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої
в точці
з додатним напрямком осі
. Це твердження і виражає геометричний зміст похідної.
Ілюстрація до визначення геометричного змісту похідної
Справді, оскільки є неперервною функцією кута
, то
при
. Отже, кутовий коефіцієнт
дотичної
до кривої
в точці
можна обчислити за формулою: