Знаходження всіх дійсних коренів алгебраїчного рівняння шляхом видалення вже знайдених коренів

Один із недоліків методу половинного ділення чи будь-якого з ітераційних методів розв'язку нелінійних алгебраїчних рівнянь є той факт, що процес збігається невідомо до якого кореня. Сьогодні розглянемо один із способів уникнути даної проблеми, який полягає у видалені вже знайденого кореня.

Отже, нехай задано рівняння , для якого на заданому відрізку необхідно знайти всі дійсні корені (відмітимо що функція на даному відрізку є неперервною). Далі припустимо, що є простий корінь рівняння (1), тоді допоміжна функція буде також неперервною на даному інтвалі, причому всі нулі функцій  та співпадають за винятком , тобто . Якщо  кратний корінь рівняння (1), то він буде нулем і для  кратності на одиницю менше. Решта нулів обох функцій як і раніше будуть однакові. Тому знайдений корінь можна видалити, тобто перейти до функції . Тоді знаходження інших нулів  зведеться до знаходження нулів .

Далі, припустимо, що на другому кроці ми знайшли деякий корінь функції . Цей корінь теж мжна видалити, ввівши нову допоміжну функцію . Відзначимо, що таким чином можна послідовно знайти всі корені заданого рівняння (1).

Читати повністю

Розв'язок алгебраїчних рівнянь методом послідовних наближень з використанням схеми Горнера

Для знаходження розв'язку алгебраїчних рівнянь степінь яких перевищує два можна також застосувати метод послідовних наближень з використанням схеми Горнера для ділення лівої частини рівняння на , де  — дійсний корінь рівняння. У методі послідовних наближень, що застосовуються при вирішенні рівнянь такого типу, відшукується послідовність чисел , яка збігається до числа , яке є коренем рівняння. Ми будемо вважати хорошим наближенням до кореня , якщо залишок від ділення лівої частини рівняння на досить малий. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього в рівнянні

відбираємо три останніх члена і знаходимо розв'язок отриманого квадратного рівняння . Якщо корені цього рівняння дійсні, то перерходимо до рішення рівняння , після чого, за перше наближення кореня рівняння (1) приймаємо розв'язок даного рівняння, тобто:

Читати повністю