Метод Зейделя. Розв'язок СНАР методом Зейделя в середовищі Delphi

Алгоритм методу Зейделя при знаходженні розв'язку системи нелінійних рівнянь практично не відрізняється від алгоритму, який ми використовували для випадку системи лінійних рівнянь. Тобто, на першому кроці здійснюється приведення систему до ітераційного вигляду. Після чого, реалізується ітераційний процес обчислення наближень до розв'язку системи, до тих пір, поки не буде досягнуто заданої точності.

Давайте розглянемо delphi-проект, який використовуючи метод Зейделя знаходить розв'язок системи, яка складається з двох нелінійних рівнянь. Також слід відмітити, що збіжність методу Зейделя, залежить від вибору початкового наближення, яке, в нашому випадку, найзручніше визначити графічно. Тобто, необхідно побудувати графік кожного з рівнянь системи і в якості початкового наближення вибрати приблизні координати точки їх перетину. Саме для цього в програмі передбачино кнопку "Побудувати графік" (побудова графіка здійснюється з допомогою компонента TChart).

Читати повністю

Розв'язок системи нелінійних алгебраїчних рівнянь використовуючи метод Зейделя

Нехай потрібно знайти розв'язок системи нелінійних алгебраїчних рівнянь (СНАР) виду (1), використовуючи при цьому метод Зейделя.

Розв'язок нелінійних системи методом Зейделя

Для застосування даного методу систему (1), аналогічно, як і у методі простої ітерації, за допомогою еквівалентних перетворень необхідно привести до наступного вигляду (один із способів приведення системи (1) до виду (2) можна знайти за посиланням Розв'язок систем нелінійних рівнянь методом ітерації):

metod_zejdelja_snr2

Далі, задавши початкове наближення metod_zejdelja_snr3, реалізується ітераційний процес обчислення наближень до розв'язку системи за наступними формулами:

Читати повністю

Розв'язок системи двох нелінійних рівнянь методом послідовних наближень в Delphi

На відміну від систем лінійних рівнянь, для систем нелінійних рівнянь не існує прямих методів для їх розв'язку. Тому розв'язок систем нелінійних рівнянь зазвичай здійснюється ітераційними чисельними методами, основна ідея яких полягає у тому, щоб за допомогою послідовних наближень отримати шуканий розв'язок з заданою точністю.

Розглянемо програму, яка знаходить розв'язок системи двох нелінійних рівнянь використовуючи для цього метод простої ітерації (метод послідовних наближень). В основу даного методу покладено процес заміни вхідної системи, дещо іншою, еквівалентною системою. Після чого, вибравши початкове наближення, отримуємо послідовність точок, яка збігається до розв'язку системи з заданою точністю. Зауважимо, що початкове наближення найзручніше визначати графічно, тобто побудувавши графік для кожного рівняння системи, за початкове наближення  беруть приблизні координати точки їх перетину.

Інтерфейс програми, яка реалізує розв'язок системи двох нелінійних рівнянь за методом ітерацій

Інтерфейс програми, яка реалізує розв'язок системи двох нелінійних рівнянь за методом ітерацій

Читати повністю

Розв'язок системи нелінійних рівнянь методом итерації (послідовних наближень)

Для розв'язку систем нелінйних рівнянь можна також використовувати і метод простої ітерації (послідовних наближень). Процес збіжність даного методу, на відміну від методу Ньютона, є набагато повільнішим, проте він не вимагає, на кожній ітерації, знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Для простоти, розглянемо систему, яка складається з двох нелінійних рівнянь:

Розв'язок системи рівнянь методом Ітерацій

Згідно методу ітерації, систему (1) потрібно замінити рівносильною їй системою, наступного виду:

metod_iteracii_sust_nelin_rivn2

Припустимо, що розв'язок систем (2) міститься на деякому замкнутому прямокутнику Розв'язок системи рівнянь методом Ітерацій, і при чому він є єдиним (metod_iteracii_sust_nelin_rivn4). Вибравши в якості початкового наближення довільну точку metod_iteracii_sust_nelin_rivn5, і використавши формули:

Читати повністю

Розв'язок системи двох нелінійних рівнянь методом Ньютона в Delphi

Програма знаходить розв'язок системи з двох нелінійних рівнянь використовуючи метод Ньютона. Використання даного методу зводиться до відшукання розв'язків сукупності систем лінійних алгебраїчних рівнянь і використання їх, в подальшому, для знаходження наступного наближення. Однак для забезпечення збіжності методу Ньютона до шуканого рішення необхідно вдало вибрати початкове наближення. Для цього в програмі передбачено можливість побудови графіка функцій. Скориставшись якою можна визначити приблизні координати точки перетину графіків, та вибрати їх в якості початкового наближення.

Також слід відмітити, що дана програма не являється універсальною, тобто знаходить розв'язок заданої системи нелінійних рівнянь. Проте, якщо винекне необхідність у розв'язку дещо іншої системи, потрібно внести відповідні зміни в програмний код проекту.

Розв'язок систем рівнянь методом Ньютона

Інтерфейс програми, яка реалізує розв'язок системи двох нелінійних рівнянь методом Ньютона

Читати повністю

Метод Ньютона для розв'язку системи двох нелінійних рівнянь

Розглянимо систему, яка складається з двох рівнянь, серед яких є хоча б одне нелінійне:

Метод Ньютона

де Метод Ньютона та Метод Ньютона неперервні та диференційовні функції. Розв'язок даної системи будемо шукати використовуючи метод Ньютона. Для цього, припустимо, що нам вже відоме Метод Ньютона-е наближення Метод Ньютонадля невідомих Метод Ньютона та Метод Ньютона. Більш точне наближення Метод Ньютона, згідно методу Ньютона, можна отримати наступним чином. Покладемо Метод Ньютона і підставимо дані значенняч у систему (1). В результаті отримаємо:

Метод Ньютона

Далі, розклавши функції Метод Ньютона та Метод Ньютона в околі точки з координатами Метод Ньютона у ряд Тейлора, та обмежившись лише лінійними членами відносно Метод Ньютона та Метод Ньютона, будемо мати:

Читати повністю

Знаходження розв'язку нелінійного рівняння методом простої ітерації засобами Delphi

Програма знаходить розв'язок нелінійного алгебраїчного рівняння Метод ітерації на Delphi використовуючи метод простої ітерації. Основна ідея даного методу полягає у заміні рівняння Метод ітерації на Delphi, на рівносильне йому рівняння виду Метод ітерації на Delphi. Після цього, задавши початкове наближення Метод ітерації на Delphi і підставивши його у остання рівняння, отримуємо послідовність точок Метод ітерації на Delphi, яка збігається до шуканого розв'язку з заданою точністю. Даний процес припиняється в тому випадку, коли модуль різниця між двома наближеннями Метод ітерації на Delphi та Метод ітерації на Delphi не стане меншою деякого числа Метод ітерації на Delphi(Метод ітерації на Delphi).

Результатом роботи програми є вивівд наближеного значення, отриманого на кожній ітерації, та графічне представлення процесу відшукання кореня за методом ітерації.

Метод ітерації на Delphi

Інтерфейс програми, яка знаходить розв'язок нелінійного алгебраїчного рівняння методом простої ітерації

Читати повністю

Наступна сторінка »