Інтерполяція періодичних функцій в середовищі програмування delphi
Програма виконує інтерполяцію періодичних таблично-заданих функцій і використовує для цього тригонометричний інтерполяційний поліном. Інтерфейс програми простий та зрозумілий у використанні (аналогічний іншим проектам, які реалізують процедуру наближення табличних функцій). Ліва частина форми містить область вхідних даних, яка складається з таблиці StringGrid у комірки якої, способом введення з клавіатури, записуються відомі знячення аргументу та функції. Праву частину форми займає компонент типу TChart, який відображає графік досліджуваної функції. І, нарешті, в нижній частині форми розташована панель інструментів, яка складається з трьох кнопок типу TButton, одного поля вибору типу TSpinEdit та одного поля вводу типу TEdit. Розглянемо призначення кожного з цих компонентів більш детально:
- Поле вибору "Розмірність таблиці" відповідає за число заданих вузлів інтерполяції досліджуваної функції і порядок інтерполяційного многочлена.
- Кнопка "Інтерполювати" призначена для побудови в компоненті TChart графіка табличної функції та вузлів інтерполяції.
- Кнопка "Очистити" видаляє з комірок таблиці StringGrid дані та видаляє всі точки побудованого графіка.
- Кнопка "Обчислити значення функції в точці" — обчислює значення функції в точці, значення якої задається в полі вводу TEdit (міститься в парвій частині панелі задач), а також відображає її на графіку (точка червоного кольору).
Далі, запустивши проект на виконання, провіримо його працездатність на конкретному прикладі, а саме використовуючи значення функції задані в таблиці знайдемо її наближене значення в точцці 
.
Інтерполяція функції тригонометричними поліномами
Нехай 
періодична і задана на осі 
функція. Шляхом лінійної заміни незалежної змінної період функції можна зробити рівним 
. У цьому випадку задану функцію доцільно інтерполювати тригонометричним поліномом:
таким що 
, де 
точки з проміжку 
. Поліном 
будемо називати тригонометричним поліномом порядку 
.
Нехай 
. Необхідно підібрати коефіцієнти полінома таким чином, щоб виконувались наступні рівності:
Тобто ми отримали систему рівнянь із 
невідомими 
. Як відомо, визначник даної системи відмінний від нуля, тому дана інтерполяційна задача має роз'язок, причому єдиний.
Інтерполяційна схема Ейткена
Нехай функція 
і розташування вузлів 
на відрізку інтерполяції 
такі, що інтерполяціний процес має збіжність. І нехай потрібно знайти не загальний вираз 
, а лише його значення при конкретних 
, тобто вирішується задача обчислення окремих наближених значень функції за допомогою обчислення відповідних їм значень інтерполяційного многочлена Лагранжа . Розглянемо даний процес більш детально і побудуємо обчислювальну схему для отримання наближеного значення таблично заданої функції в заданій точці 
, в основу якої буде покладена інтерполяція Лагранжа на сітці вузлів . Організація обчислень за цією схемою матиме ітераційний характер, кожен крок якої полягає в обчисленні деякого визначника другого порядку.
Нехай дано дві точки на кривій 
: 
і 
. Побудуємо функцію 
:
Тобто збігається з інтерполяційним многочленом Лагранжа першої степені, побудованим за двома даними точкам. Побудуємо через визначник функцію 
для точок та 
:
Інтерполяція функції двох змінних в середовищі програмування delphi
Програма призначена для знаходження проміжних значень функції по заданому дискретному набору відомих значень, іншими словами, програма виконує інтерполяцію функції двох змінних, використовуючи для цього алгоритм, який здійснюється в два етапи, кожен з яких полягає у інтерполяції функції від однієї змінної (більш детальну інформацію по теоретичній частині даного алгоритму можна знайти за посиланням Інтерполяція функції двох змінних). Головне вікно розглядуваного delphi-проекту ділиться на три частини:
- Таблиця фіксованих значень функції (компонент класу TStringGrid - міститься в лівій частині форми).
- Області графічного представлення функції що інтерполюється (права частина форми).
- Панель інструментів — міститься в нижній частині форми і складається з наступних елементів: поле «Розмірність таблиці фіксованих значень» (компонент класу TSpinEdit призначений виключно для введення цілих чисел) яке відповідає за розмірність таблиці StringGrid; кнопка «Інтерполювати» (компонент класу TButton) основне призначення якої є відшукання проміжних значень функції та побудова її графіка; два компоненти типу TEdit та кнопки «Обчислити значення функції» (компонент типу TButton) — призначених для знаходження значення функції в заданій точці, координати якої задаються в текстових полях Edit.
Інтерполяція функції двох змінних
Нехай функція 
задана на системі рівновіддалених точок 
, де 
, причому 
. Ввівши позначення 
відомі значення функції 
можна оформити у вигляді таблиці з двома входами:
Таблиця фіксованих значень функції двох змінних
Інтерполювання функції двох змінних , тобто знаходження її не табличних значень, здійснюється в два етепи, кожен з яких полягає у інтерполяції функції від однієї змінної 
та 
відповідно.
Задача оберненого інтерполювання для випадку рівновіддалених вузлів
Нехай функція 
задана таблично. Задача оберненого інтерполювання полягає в тому, щоб по заданому значенню функції 
визначити відповідне значення аргумента 
. Розглянемо даний алгоритм більш детально, для випадок рівновіддалених вузлів, в якому зазвичай використовується метотод послідовних наближень.
Припустимо, що функція 
монотонна і її значення , для якого необхідно визначити значення аргументу міститься між 
та 
. Замінюючи функцію першим інтерполяційним многочленом Ньютона, будемо мати:
звідси 
, де 
.
Далі, взявши за початкове наближення 
, для останнього рівняння застосуємо метод простої ітерації. В результаті отримаємо:
Інтерполяція функції за формулою Бесселя в середовищі програмування delphi
Delphi-проект призначений для побудову інтерполяційної кривої таблично заданої функції з рівновіддаленими вузлами. В якості інтерполяційної формули програма використовує формулу Бесселя. Головне вікно проекту ділиться на три частини: таблиця фіксованих значень функції (компонент TStringGrid), область виводу інтерполяційної кривої (компонент TChart) та панель задач з допомогою якої можна змінювати розмірність таблиці TStringGrid (поле "Розмір таблиці"), здійснювати побудову графіка в компоненті TChart (кнопка "Інтерполювати") та обчислити значення функції в точці відмінній від заданих (кнопка "Обчислити значення функції в точці" та поле вводу TEdit — міститься з правої частині).
Головне вікно delphi-проекту "Інтерполяційна формула Бесселя"
Загрузка ...