Перша та друга інтерполяційні формули Гаусса

Нехай маємо Інтерполяційна формула Гаусса рівновіддалених вузлів інтерполяції Інтерполяційна формула Гаусса, де Інтерполяційна формула Гаусса, і для деякої функції Інтерполяційна формула Гаусса відомо її значення в даних вузлах, тобто Інтерполяційна формула Гаусса. Задача полягає у побудові інтерполяційного полінома, степінь якого не перевищує Інтерполяційна формула Гаусса і значення якого у візлах інтерполяції співпадає з відомими значеннями функції (Інтерполяційна формула Гаусса).

Даний поліном будемо шукати в наступному вигляді:

Інтерполяційна формула Гаусса

Використовуючи узагальнену степінь числа, вираз (1) перепишемо у наступному вигляді:

Інтерполяційна формула Гаусса

Читати повністю

Наближення таблично заданих функцій з допомогою сплайн-інтерполяції засобами Delphi

Програма здійснює кубічну сплайн-інтерполяцію для заданого довільного набору вузлів і значень функції в них. В основі такого роду інтерполяції лежить ідея поділу інтервалу інтерполяції на невеликі відрізки, на кожному з яких функція задається полінлмом третьої степені. Коефіцієнти кожного з таких поліномів підбираються таким чином, що на кінцях інтервалів забезпечується умова неперервності функції до другої похідної включно. Відмітимо, що саме інтерполяція кубічними сплайнами на відміну від поліноміальної інтерполяції, вважається ефективним і швидким способом наближення таблично заданих функцій. Рішення системи лінійних рівнянь для знаходження коефіцієнтів, що використовуються у формулі сплайна, проводиться за алгоритмом методу прогонки. Також передбачено можливість визначення значення функції в будь-якій точці на заданому інтервалі.

Виходячи з того, що інтерфейс розглядуівного delphi-проекту аналогічний проектам, які ми розглядали для лінійної та квадратичної інтерполяції, розглядати кожен елемент форми та його призначення не будемо, а лише продемонструємо його роботу на конкретному прикладі:

Читати повністю

Знаходження наближеного значення таблично заданої функції використовуючи кубічну сплайн-інтерполяцію

Використання однієї інтерполяційної формули для великого числа вузлів, як у випадку інтерполяційних формул Ньютона чи Лагранжа являється недоцільним. Такий інтерполяційний многочлен сильно проявляє свої коливальні властивості, і його значення між вузлами можуть сильно відрізнятися від значень інтерпольованої функції. Однією з можливостей обійти такий недолік є застосування сплайн-інтерполяції. Ідея сплайн-інтерполяції полягає в побудові поліномів між парами сусідніх вузлів інтерполяції, причому для кожної пари вузлів будується свій поліном. Найпоширеніший у практиці є кубічний сплайн, для побудови якого необхідно побудувати n многочленів третьої степені:

Сплайн-інтерполяція

Для визначення невідомих Сплайн-інтерполяція многочлена (1) необхідно 4n рівняннь. Частина з них, а саме 2n, може бути отримана з умови проходження сплайна через вузли інтерполяції Сплайн інтерполяція:

Сплайн-інтерполяція

де Сплайн-інтерполяція. Науступні (2n-2) рівняння знайдемо з умови неперервності перших і других похідних у вузлах інтерполяції, тобто з умови гладкості кривої в усіх точках. Для цього знайдемо першу і другу похідну тричлена (1):

Читати повністю

Пргорамна реалізація алгоритму квадратичної інтерполяції в середовищі програмування Delphi

Пргорамна реалізація алгоритму квадратичної інтерполяції вимагає вирішення додаткової задачі, яка полягає у знаходженні рішень системи лінійних алгебраїчних рівнянь, розв'язком якої є коефіцієнти інтерполяційного многочлена. В розглядуваному delphi-проекті для цього використовується метод Крамера, який вважається найбільш зручним у реалізації (вимагає обчислення визначника основної матриці системи та додаткових визначників, одержуваних з основної матриці шляхом послідовної заміни її стовпців стовпцем вільних членів). Після знаходження невідомих коефіцієнтів многочлена програма будує графік функції, який ілюструє результат інтерполяції. Також відмітимо, що в проекті передбачино можливість знаходження наближеного значення функції в точці, відміннійн від заданих.

Отже, розглянемо деякий список вузлів інтерполяції і значень функції в них та спробуємо з допомогою даного delphi-проекту побудувати для них графік інтерполяційної функції. Для цього необхідно, в першу чергу, запустити проект на виконання, вказати необхідну розмірність таблиці і заповнити її інтерполяційними даними після чого натиснути кнопку «Інтерполювати».

Читати повністю

Обчислення проміжних значень таблично заданих функцій використовуючи квадратичну інтерполяцію

Кусково-квадратична інтерполяція, на відміну від кусково-лінійної, зводиться до формування для кожного відрізка Квадратична інтерполяція квадратичного тричленаКвадратична інтерполяція, який передбачає з'єднання кожної трійки сусідніх точок відрізком квадратичної параболи.

Квадратична інтерполяція

Кусково-квадратична інтерполяція

Шукати невідомі коефіцієнтів Квадратична інтерполяція тричлена (1) будемо виходячи з умови збігу значень шуканої квадратичної функції з табличними значеннями в трьох заданих точках. Для цього складемо наступну систему рівнянь (визначник системи (2) відмінний від нуля в тому випадку, коли точки Квадратична інтерполяція не лежать на одній прямій):

Читати повністю

Лінійна інтерполяція довільного набору вузлів і значень функції в них в середовищі програмування Delphi

Програма проводить лінійну інтерполяцію для заданого довільного набору вузлів і значень функції в них. Визначається значення функції в будь-якій точці на заданому інтервалі. Рішення системи двох лінійних рівнянь для знаходження коефіцієнтів, що використовуються у формулі лінійної інтерполяції здійснюється за методом підстановок.

Інтерфейс програми, яка реалізує алгоритм

Інтерфейс програми, яка проводить лінійну інтерполяцію для заданого довільного набору фіксованих значень функції

Головне вікно delphi-проекту ділиться на три частини: таблиці вхідних даних, області відведеної на побудову графіка та панелі задач, яка в свою чергу складається з поля «Розміри таблиці» — призначеного для вибору необхідної розмірності таблиці фіксованих значень; кнопки «Інтерполювати» — результатом роботи якої є вивід  результатів у вигляді графіка; кнопки «Обчислити значення функції в точці» — призначена для обчислення наближеного значення функцуії у точці відмінній від заданих.

Читати повністю

Наближення таблично заданої функції з допомогою лінійної інтерполяції

При великій кількості вузлів інтерполяції сильно зростає степінь інтерполяціонних многочленів, що робить їх незручними для обчислень. Уникнути даної проблеми можна розбивши відрізок інтерполяції на кілька частин з побудовою на кожній з них окремого интерполяционного многочлена.

Найпростішим і водночас часто використовуваним видом такого роду інтерполяції, є кусочно-лінійна інтерполяція. Вона полягає в тому, що задані точки Лінійна інтерполяція з'єднуються прямолінійними відрізками, а функція Лінійна інтерполяція наближається до ламаної з вершинами в даних точках.

Лінійна інтерполяція

Лінійна інтерполяція

Читати повністю

« Попередня сторінкаНаступна сторінка »