Використання інтерполяційних методів для ровз'язку нелінійних рівнянь

Ідея інтерполяційних методів полягає в тому, що задача знаходження коренів рівняння на проміжку , замінюється задачею знаходження коренів інтерполяційного полінома , побудованого для функції .

Розглянемо випадок, коли для  будується інтерполяційний поліном першого порядку  — інтерполяційний метод першого порядку. Припустимо, що нам відомі наближення і до кореня рівняння (1) (відмітимо, що в якості нульового і першого наближень зазвичай беруться наступні знаення або , де  — достатньо мале число). Вибравши їх в якості вузлів інтерполяції, побудуємо для функції  інтерполяційний поліном у формі Ньютона для нерівновіддалених значень аргументу:

де  — розділена різниця першого порядку. Замінюючи в рівнянні (1) функцію  інтерполяційним поліномом (2), одержимо лінійне рівняння . Приймаючи його розв'язок за нове наближення, приходимо до інтерполяційного методу першого порядку:

Відмітимо, що процес знаходження розв'язку рівняння (1) згідно інтерполяційного методу першого порядку, як і будь-якого іншого методу рішення задач такого типу, необхідно продовжувати до тих пір, поки модуль різниці між двома сусідніми значеннями наближень не стане меншим за деяке число , тобто .

Читати повністю