Обчислення площі криволінійної трапеції використовуючи метод Монте-Карло

В даному параграфі розглядається delphi-проект, який використовуючи метод Монте-Карло знаходить наближене значення площі криволінійної трапеції обмеженої відрізком , графіком функції і вертикальними прямими та . Відмітимо, що крім чисельного розв'язку програма виводить в компоненті типу TChart також і графічне представлення роботи методу, тобто здійснює побудову ста згенерованих випадковим чином точок в прямокутник, що містить криволінійну фігуру.

Обчислення площі криволінійної трапеції використовуючи метод Монте-Карло

Читати повністю

Чисельне інтегрування функції використовуючи метод Ромберга в середовищі програмування delphi

Delphi-проект призначений для обчислення значення визначеного інтеграла і використовує для цього алгоритм методу Ромберга. Відмітимо, що даний алгоритм в якості базової використовує формулу трапецій з рівномірним кроком, після чого, використовуючи спеціальний механізм, здійснюється послідовне уточнення значення інтеграла, при кратному збільшенні числа відрізків на які розбивається проміжок інтегрування (теоретична частина по методу Ромберга, а також застосування його для конкретного прикладу містяться за посилання Чисельне інтегрування функції використовуючи метод Ромберга).

Інтерфейс користувача програми практично не відрізняється від інших проектів, які реалізують процедуру обчислення визначеного інтеграла, тобто складається з панелі інструментів, області графічного представлення та області виводу результатів.

Головне вікно delphi-проекту Чисельне інтегрування методом Ромберга

Головне вікно delphi-проекту Чисельне інтегрування методом Ромберга

Після запуску проекту, від користувача вимагається у вигляді формули задати підінтегральну функцію, межі інтегрування, точність обчислювального процесу та кількість відрізків на які ділиться проміжок .

Читати повністю

Чисельне інтегрування функції методом Ромберга

Перш ніж приступити до розгляду чергового методу чисельного інтегрування, нагадаємо, що інтеграл від функції чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком цієї функції і межами інтегрування . Відмітимо, що розглядувані на даному сайті методи (метод прямокутниківметод трапецій, метод Сімпсона), базуються на процедурі поділу відрізка  на елементарних частин, після чого, площа криволінійної трапеції обчислюється, як сума площ  прямокутників чи трапецеїдних фігур (в залежності від вибраного методу). Проте, результат отриманий згідно даних методів, сильно залежить від величини кроку (), що позначається на точності обчислення визначеного інтеграла особливо в тих випадках, коли функція має немонотонний характер.

Використання екстраполяції Річардсона, при інтегруванні відомими методами, дозволяє значно скоротити машинний час при незмінній точності результату (оскільки уточнення результату інтегрування не потребує додаткових обчислень функції). Застосування наведеної нижче методики до ітераційної формули трапецій складає розглядуваний метод Ромберга.

Далі, розглянемо основну суть екстраполяції Річардсона. Для цього, вибиремо деякий крок  і розрахуємо по формулі трапецій деяке значення інтеграла . Далі, крок  зменшимо удвічі, в результаті чого, отримаємо нове значення . Тоді, згідно з екстраполяцією Річардсона, розраховане значення інтеграла може бути уточнене за формулою:

Читати повністю

Обчислення довжини дуги кривої за допомогою визначеного інтеграла

Сьогодні розглянемо ще одну задачу, яка як і задача обчислення площі плоскої фігури та задача обчислення об'ємів тіл, відноститься до категорії найважливіших геометричних задач, що вирішуються методами інтегрального числення, а саме задачу знаходження довжини дуги кривої.

Для цього, припустимо, що в прямокутній системі координат задано неперервну криву , для якої необхідно знайти довжину дуги , яка розташована в інтервалі між  та .

Апроксимація елемента дуги кривої прямолінійним відрізком

Апроксимація елемента дуги кривої прямолінійним відрізком

Відмітимо, що розв'язок даної задачі почнемо поділом дуги  точками з абсцисами на частин. На наступному кроці поєднаємо дані точки відрізками , довжини яких позначимо через  відповідно. В результаті виконання даного кроку, ми отримали ламану лінію , вписану в дугу . Довжина даної ламаної складається з довжин відрізків , тобто:

Читати повністю

Чисельне інтегрування довільної функції методом прямокутників

Розглянемо ще одну delphi-програму, яка знаходить наближений розв'язок визначеного інтеграла, використовуючи для цього метод прямокутників. Основна ідея даного методу полягає в тому, що сума площ прямокутників, якими можна замінити функцію на відрізку [a; b], наближається до площі під функцією. Чим менше довжина відрізків, на які ділиться відрізок функції, тим точніше значення шуканого інтеграла.

Інтерфейс користувача програми обчислення визначеного інтеграла методом прямокутників є доволі простим і зрозумілим. Він розроблений таким чином , що будь-який користувач ПК зумів самостійно і швидко розібратися з програмою. Більшу частину головного вікна займає область, відведена на графічні зображення.

Інтерфейс програми, яка реалізує метод прямокутників

Інтерфейс програми, яка реалізує метод прямокутників

Користувач вводить в програму підінтегральну функцію, кількість відрізків на які ділиться проміжок [a; b] і межі інтегрування, після чого натискає кнопку «Обчислити інтеграл». В результаті програма обчислює інтеграл методом прямокутників, а також будує відповідний графік, використовуючи компонента TImage.

Читати повністю